J’étais vendredi à l’Institut Henri-Poincaré pour les exposés mensuel du MEGA (Matrices Et Graphes Aléatoires). Saviez-vous que cet institut doit son existence notamment aux efforts de Émile Borel – mathématicien et homme politique, figure sans doute très inspirante pour Cédric Villani – ainsi qu’aux moyens de la Fondation Rockefeller et de Edmond de Rothschild ?
Le cours didactique du matin était donné par Laurent Ménard, et portait sur la combinatoire analytique à la Philippe Flajolet. Il s’agit typiquement d’obtenir des formules de comptage notamment asymptotiques en utilisant l’arsenal de l’analyse complexe (intégrales de contour, méthode du col, …) à partir d’identités combinatoires fonctionnelles sur les fonctions génératrices. D’après Laurent, une excellente référence est le livre Analytic combinatorics.
Le premier exposé de l’après-midi était donné par l’énergique Yan Fyodorov et portait sur l’article arXiv:1710.04699 concernant des formules explicites pour des statistiques liées aux vecteurs propres pour les modèles matriciels gaussiens de Ginibre réel et complexe. Le second était donné par Alice Guionnet et portait sur l’étude de modèles de gaz discrets avec beta variable, en liaison par exemple avec l’article arXiv:1705.05527. Dans les deux cas, la virtuosité et l’arsenal techniques sont impressionnants. Ces deux orateurs sont des sommités mondiales.
Il semble que dans le domaine des matrices aléatoires, la plupart des questions simples abordables ont déjà été explorées. Doit-on s’attendre dans le futur à des vagues de travaux simplificateurs ? C’est ce qu’on peut souhaiter au sujet. Certains pensent que pour survivre au temps, les mathématiques ont besoin d’être simples et profondes et que cela résulte d’une lente digestion collective. Au delà de ce domaine, il est frappant de constater la place grandissante de la sophistication technique dans les mathématiques actuelles. On se prend à douter parfois.
En tout cas, ces trois exposés étaient passionnants et enthousiasmants !