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Month: September 2010

Un climat dogmatique

Dessin de Ali Dilem

Un collègue m’a signalé un billet controversé sur Image des Mathématiques intitulé « Quelques questions de nature statistique liées au débat sur le climat ». L’auteur du billet y fait part de ses doutes sur le dogme ambiant autour du réchauffement climatique. Comme Claude Allègre, il fait partie de l’Académie des Sciences, et suscite depuis de nombreuses années un certain nombre de controverses, pas seulement liées au climat.

Mais que penser du réchauffement climatique, de sa cause humaine supposée, de son ampleur, et des remèdes ? Peut-on sérieusement proposer des certitudes sur des questions aussi complexes ? Il faut dire que le mythe du quantitatif a envahi les sciences depuis bien longtemps, à grand coup de modèles mathématiques, d’informatique, et de statistique. Les sciences de la terre ne font pas exception. Ce mythe du quantitatif rentre aujourd’hui en résonance avec les préoccupations légitimes de nature écologique des citoyens. Les sceptiques sont parfois taxés de négationnistes-climatiques-anti-écologistes (sic).

Se faire une opinion sur des phénomènes si complexes est difficile. Le recul permettra sans doute d’y voir plus clair sur le plan scientifique. En attendant, on peut bien sûr s’en remettre aux experts. On peut aussi douter de la crédibilité de ces sciences hautement quantitatives, lorsqu’elles prétendent obtenir des certitudes. On  peut douter de l’échafaudage et de tout ce qu’il porte, sans remettre en cause les fondements physiques bien établis.  Le manque de modestie de ces scientifiques de tous bords,  devenus marchands de certitudes, est sidérant, et les fantasmes de certains militants le sont tout autant. A-t-on vraiment besoin d’avaler le dogme climatique pour changer les sociétés humaines ?

On pourrait définir le mythe du quantitatif comme étant l’idée selon laquelle une analyse quantitative au moyen de modèles mathématiques rend les conclusions qui en sont tirées absolument indiscutables. La physique offre de beaux exemples de réussites des mathématiques appliquées, mais aussi de faillites des mathématisations trop simples. Il faut parfois beaucoup de temps pour trier le bon grain de l’ivraie. Les tenants des thèses climatiques les plus pessimistes rétorquent que les sceptiques ne seront plus là pour avoir raison et qu’il faut prendre une décision. C’est le point de départ du principe de précaution.

Les sociétés développées se préoccupent de plus en plus du bien être et de l’environnement. La quantification des risques est présentée comme une réponse décisionnelle aux angoisses engendrées par ces préoccupations. Elle se nourrit du mythe du quantitatif et pose des problèmes méthodologiques importants. Parallèlement, le monde médiatique et politique réclame à la science des vérités, un discours facile à prêcher face aux peurs du moment.  Malheureusement, les vérités scientifiques sont d’autant plus rares que les phénomènes sont complexes. Destinées à être sans cesse questionnées,  elles ne s’obtiennent pas en faisant voter des experts une bonne fois pour toute.   Cependant, bien que le principe de précaution soit la source de fiascos retentissants, il peut aussi agir comme rempart face aux appétits mercantiles de multinationales sans scrupules.  Pourquoi ne pas remettre en question directement cette toute-puissance du profit ?

Last Updated on 2019-06-08

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(La)TeX in the blog

A formula rendered by MathJax which is a successor of jsMath (right-click on the formula!):

\[
\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^4}=\frac{\pi^4}{90}.
\]

If you see a LaTeX code above instead of a rendered formula, then your browser is probably rather old and should be updated or replaced (sorry!). The same formula rendered by wp-latex:

wp-latex output example

Both MathJax and wp-latex allow to type in LaTeX formulas directly in the WordPress blog editor. The MathJax rendering is scalable because Ajax makes it dynamic and adaptive. It  looks  nicer in modern web browsers. The wp-latex rendering is unscalable since it relies on a static bitmap image produced by LaTeX and dvipng. There is a similar story for images: SVG versus GIF|PNG|JPEG.

The installation of MathJax on WordPress is fairly simple. Take a look at the MathJax website!

Last Updated on 2011-10-23

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Anderson localization

 

Anderson localization of an expanding Bose-Einstein condensate in a disordered potential
Anderson localization of an expanding Bose-Einstein condensate in a disordered potential

 

In 1977, the American physicist Philip Warren Anderson received a Nobel Prize in Physics for his discovery of the localization phenomenon in disordered systems, known now as the Anderson localization.  This phenomenon is still the subject of many works in Physics and Mathematics, and attracts some famous researchers, such as the Fields Medalist Jean Bourgain. In 2008,  the symposium 50 years of Anderson localization was organized at the Institut Henri Poincaré in Paris. You may take a look for instance at the nice article by Lagendijk, van Tiggelen, and Wiersma. Certain mathematical aspects are discussed for instance in an article by Bellissard and the book by Disertori, Kirsch, Klein, Klopp, and Rivasseau.

Localization [..], very few believed it at the time, and even fewer saw its importance, among those who failed to fully understand it at first was certainly its author. It has yet to receive adequate mathematical treatment, and one has to resort to the indignity of numerical simulations to settle even the simplest questions about it.” P.W. Anderson, Nobel Lecture, 1977.

Mathematically, the most basic instance of this phenomenon is given by the behavior of the eigenvectors of a one-dimensional discrete Schrödinger operator with a random potential. More precisely, let \(T\) be an \(n\times n\) symmetric tridiagonal matrix with \(T_{i,j}=1\) if \(|i-j|=1\) and \(T_{1,1},\ldots,T_{n,n}\) i.i.d. Bernoulli or Gaussian random variables. It turns out that for a large enough \(n\), with high probability, some of the eigenvectors of \(T\) are heavily localized in space i.e. one of the components of the vector gathers most of the mass of the vector. Probabilistically, the operator \(T\) is close to the random walk in a random potential via a Feynman-Kac formula.

A convenient way to measure the localization of a vector $v\in\mathbb{R}^n$ consists in computing the norm ratio \( r(v):=\left\Vert v\right\Vert_\infty \left\Vert v\right\Vert_2^{-1}\), which takes its values in the interval \( [n^{-1/2},1]\). The more \( r(v)\) is close to \( 1\), the more \(v\) is localized. If \(v\) has unit \( 2\)-norm then localization means a proximity to an extremal point of the \( \ell^1\) unit sphere. In particular, if \( v\) is random and distributed according to the uniform law on the unit sphere, then \( r(v)\) is close to \( n^{-1/2}\) with high probability. This is for instance the case for the rows and columns of random matrices following the Haar distribution on the unitary group. This suggests a transition phenomenon with respect to localization, for random band matrices. Some aspects are considered in e.g. Evers and Mirlin.

Let us “resort to the indignity of numerical simulations” to explore how the band-width of a random band matrix may tune the localization of eigenvectors. For simplicity, we fix \( n=1000\). For \( w\in\{1,\ldots,n-1\}\) we consider the \( n\times n\)  symmetric  random matrix \( A_w\) with, for all \( 1\leq i\leq j\leq n\), \((A_w)_{i,j}=0\) if \( |i-j|>w\), and where the remaining entries are all i.i.d. standard Gaussian (or symmetric Rademacher). Here are simulations for a single matrix (\( n\) is fixed and \( w\) varies). The localization transition seems to  end when \( w\) is near \( \sqrt{n}\approx 32\) and it seems that there is a cutoff in the Rademacher case. A mathematical analysis of eigenvectors localization for random band matrices is considered for instance in a paper by Schenker and a paper by Erdős and Knowles.


Note. The Anderson localization is not a high dimensional phenomenon, and can be checked even on 2×2 matrices. However, the occurence of Anderson localization in high dimensional models is important from the realistic point of view.

Note: we have already explored the localization of eigenvectors of full i.i.d. models in a previous post (and another one). One should not confuse Philip Warren Anderson with Carl David Anderson who received the Nobel Prize in Physics in 1936 for his discovery of the positron and muon.

Notes. From the mathematical point of view, the lack of an exactly solvable model for Anderson localization makes difficult the mathematical analysis of the universality of the phenomenon.

Code: here is the GNU Octave code for the Rademacher case (most of it deals with graphics):

 

clf; clear; n=1000; dn=1; GFX='gif';
A=diag(sign(randn(1,n))); SumL=[]; LL=[]; SS=[];
for i=1:dn:sqrt(n)
 B=diag(sign(randn(1,n-i)),i);
 A=A+B+B';
 [V,D]=eig(A);
 S=diag(D);
 L=norm(V,Inf,'columns');
 % Save of sum of localizations for curve plot
 SumL=[SumL,sum(L)];
 % Save results for future uses
 LL=[LL,L']; SS=[SS,S];
end %for i
% Plot of curve
clf; plot(SumL,'b-'); hold on;
title(sprintf('Dimension %i Rademacher i.i.d. entries',n));
xlabel('Tridiagonal width');
ylabel('Sum of eigenvectors localization ratios');
print(sprintf(['trirad-curve-%.3d.',GFX],n),['-d',GFX]);
% Plot of three cases
clf; hold on;
N=[1,fix(size(SS,2)/2),size(SS,2)];
C=['r','g','b'];
for i=[1,2,3]
 a=min(SS(:,N(i))); b=max(SS(:,N(i)));
 plot(2*(SS(:,N(i))-(b+a)/2)/(b-a),LL(:,N(i)),[C(i),'o']);
end %for i
title(sprintf(['Dimension %i Rademacher',\
'i.i.d. entries Tridiagonal Width w'],n));
xlabel('Eigenvalue relative position in the spectrum');
ylabel('Eigenvector localization ratio');
legend(sprintf(' w=%i',N(1)),\
sprintf(' w=%i',N(2)),\
sprintf(' w=%i',N(3)),\
"location","southeast");
legend("boxon");
print(sprintf(['trirad-three-%.3d.',GFX],n),['-d',GFX])

 

Last Updated on 2018-02-01

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Provocation

Euclide dans L'École d'Athènes de Raphael
Euclide dans L'École d'Athènes de Raphael

Les mathématiciens français se gargarisent du succès des maths françaises. Il est vrai que la France possède l’un des plus gros scores de médailles Fields par habitant, après la Belgique, devant la Russie et les États Unis d’Amérique. La Hongrie n’en a aucune malgré l’excellence de son école mathématique. Quelques raisons plausibles à ce succès comme les sommets d’un pentagone :

  1. La sélection par les maths à l’école, au collège, au lycée, dans les classes préparatoires
  2. Les maths nécessitent peu d’équipements coûteux, peu de personnels techniques
  3. L’école mathématique française est déjà bien établie et constitue un capital organisé
  4. Les postes de chercheurs au CNRS donnent une liberté totale et sur le long terme
  5. Les mathématiciens français sont influents dans les instances internationales

Mis à part quelques cas spéciaux, l’essentiel des mathématiciens français de tout premier plan sont passés de leur classe préparatoire quelque part en France à l’École Normale Supérieure de Paris et ont bénéficié d’un poste de chercheur au CNRS. Cette filière élitiste repose sur le système sélectif national, qui nécessite à son tour la formation régulière et massive d’enseignants (-chercheurs) de bon niveau pour tous les étages du système éducatif. Les classes préparatoires aux concours des grandes écoles constituent des camps d’entrainements à un championnat national annuel. Elles coûtent cher à la nation, mais permettent de repérer les individus les plus prometteurs.

Ce système a plusieurs conséquences, comme par exemple la présence de bons laboratoires de mathématiques sur tout le territoire national. Une autre conséquence, plus surprenante, est la grande oisiveté et la bornitude intellectuelle d’un grand nombre d’élèves ingénieurs français issus des classes préparatoires, après l’intégration d’une école d’ingénieurs. Ceci s’explique par le fait que cette intégration est perçue comme une fin en soi, l’aboutissement d’un effort définitif. À 20 ou 21 ans, ils sont «arrivés » et cela conditionnera leur statut socio-professionnel futur.

Ce système a besoin d’une mise à jour en conformité avec l’intérêt national et les standards internationaux. Tout se passe comme si la France avait choisi de se spécialiser en maths, au détriment de disciplines scientifiques plus coûteuses. En vérité, la France mise faiblement sur la recherche en général, et les maths ont simplement tiré leur épingle du jeu jusqu’à présent.

PaysMédaillesPopulationScore M/P
Nouvelle Zélande14,20,24
Norvège14,60,22
Belgique210,40,19
Finlande15,30,19
France11640,17
Israël17,20,14
Suède19,10,11
Royaume-Uni561,30,08
Union Soviétique9139,40,06
Australie121,50,05
États-Unis13310,20,04
Japon3126,80,02
Afrique du sud149,10,02
Italie158,10,02
Allemagne188,20,01
Vietnam189,60,01
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