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Libres pensées d'un mathématicien ordinaire Posts

Convergence of discrete time martingales

Joseph Leo Doob
Joseph Leo Doob (1910 – 2004) as president of the AMS (1963 – 1964)

It is tempting to think that discrete time martingales are deeper and more elementary than continuous martingales, and that most of the statements on continuous martingales can be reduced by approximation to statements on discrete time martingales. But the truth is that some statements on continuous martingales can be proved with genuine continuous methods, which can be more elegant or more simple than discrete methods. The best for a probabilist is probably to be comfortable on both sides and to focus on the probabilistic intuition, contrary to pure analysts! Even if most of the physics of the phenomena is the same, there are specific aspects related to continuities and discontinuities and their links by passage to the limit, which cannot be reduced completely to technical aspects.

This post is a discrete time counterpart of a previous post on the almost sure convergence of martingales. The argument that we have used for a continuous martingale \( {{(M_t)}_{t\geq0}} \) with \( {M_0=0} \) involves that if for some threshold \( {R} \) we define \( {T=\inf\{t\geq0:|M_t|\geq R\}} \), then \( {|M_T|\leq R} \). Due to a possible jump at time \( {T} \), this is no longer valid when \( {M} \) is discontinuous. In particular, the argument is not valid for discrete time martingales.

In this post, we provide a proof of almost sure convergence of submartingales bounded in \( {\mathrm{L}^1} \), by reduction to the almost sure convergence of nonnegative supermartingales, itself reduced to the convergence of martingales bounded in \( {\mathrm{L}^2} \), which uses the Doob decomposition of adapted integrable processes as well as the Doob maximal inequality. We do not use the Doob stopping theorem (only the germ of it). What is remarkable here is that the whole approach is alternative to the classical proof from scratch with upcrossings which goes back to Joseph Leo Doob.

Submartingales bounded in \( {\mathrm{L}^1} \). If \( {{(X_n)}_{n\geq0}} \) is a submartingale bounded in \( {\mathrm{L}^1} \) then there exists \( {X_\infty\in\mathrm{L}^1} \) such that \( {\lim_{n\rightarrow\infty}X_n=X_\infty} \) almost surely.

Proof. The fact that \( {X_\infty\in\mathrm{L}^1} \) follows by the Fatou lemma since

\[ \mathbb{E}(|X_\infty|) =\mathbb{E}(\varliminf_n|X_n|) \leq\varliminf_n\mathbb{E}(|X_n|) \leq\sup_n\mathbb{E}(|X_n|)<\infty. \]

Set \( {C=\sup_n\mathbb{E}(|X_n|)<\infty} \). To get almost sure convergence it suffices to show that

\[ X=Y-Z \]

where \( {{(Y_n)}_{n\geq0}} \) and \( {{(Z_n)}_{n\geq0}} \) are both nonnegative supermartingales and to use the theorem of convergence for nonnegative supermartingales. Since \( {(\bullet)^+=\max(\bullet,0)} \) is convex and nondecreasing, \( {X_n^+=\max(X_n,0)} \) defines a submartingale. Let

\[ X_n^+=X_0^++M_n+A_n \]

be its Doob decomposition. We known that \( {0\leq A_n\nearrow A_\infty} \) as \( {n\rightarrow\infty} \) almost surely where \( {A_\infty} \) takes its values in \( {[0,+\infty]} \). But since \( {\mathbb{E}(A_n)=\mathbb{E}(X_n^+)-\mathbb{E}(X_0^+)\leq C} \), it follows by monotone convergence that \( {\mathbb{E}(A_\infty)\leq C} \). Let us define

\[ Y_n=X_0^++M_n+\mathbb{E}(A_\infty\mid\mathcal{F}_n). \]

The process \( {{(Y_n)}_{n\geq0}} \) is a martingale. It is nonnegative since

\[ Y_n\geq X_0^++M_n+A_n=X_n^+\geq0; \]

Finally \( {Z_n=Y_n-X_n} \) defines a submartingale as the difference of a martingale and a supermartingale and \( {Z_n\geq X_n^+-X_n=X_n^-\geq0} \).

Nonnegative supermartingales. If \( {{(X_n)}_{n\geq0}} \) is a nonnegative supermartingale then there exists \( {X_\infty} \) taking values in \( {[0,+\infty]} \) such that \( {\lim_{n\rightarrow\infty}X_n=X_\infty} \) almost surely.

Proof. Since \( {\mathrm{e}^{-\bullet}} \) is nonincreasing and convex, the Jensen inequality gives that \( {Y_n=\mathrm{e}^{-X_n}} \) defines a submartingale. Let us write its Doob decomposition

\[ Y_n=Y_0+M_n+A_n \]

where \( {M} \) is a martingale and \( {A} \) is nonnegative and predictable, and \( {M_0=A_0=0} \). We have \( {0\leq A_n\nearrow A_\infty} \) as \( {n\rightarrow\infty} \) almost surely where \( {A_\infty} \) takes its values in \( {[0,+\infty]} \). It suffices now to show that \( {M} \) is a martingale bounded in \( {\mathrm{L}^2} \) and to use the theorem about the convergence of martingales bounded in \( {\mathrm{L}^2} \). The martingale property gives, for all \( {n,m} \), denoting \( {\Delta M_k=M_k-M_{k-1}} \),

\[ \mathbb{E}((M_{n+m}-M_n)^2) =\sum_{k=n+1}^{n+m}\mathbb{E}((\Delta M_k)^2). \]

Let us write \( {Y_n^2=Y_0^2+\sum_{k=1}^n(Y_k^2-Y_{k-1}^2)} \). Since \( {Y_k=Y_{k-1}+\Delta M_k+\Delta A_k} \), we get

\[ Y_n^2=Y_0^2+\sum_{k=1}^n\left[(\Delta M_k)^2+(\Delta A_k)^2+2Y_{k-1}\Delta M_k+2Y_{k-1}\Delta A_k+2\Delta M_k\Delta A_k\right]. \]

Now \( {Y_0^2+\sum_k(\Delta A_k)^2\geq0} \) and \( {2\sum_kY_{k-1}\Delta A_k\geq0} \) since \( {Y\geq0} \) and \( {\Delta A\geq0} \). Thus

\[ \sum_{k=1}^n(\Delta M_k)^2 +2\sum_{k=1}^n(Y_{k-1}+\Delta A_k)\Delta M_k \leq Y_n^2\leq1. \]

At this step, we note that

\[ \mathbb{E}((Y_{k-1}+\Delta A_k)\Delta M_k) =\mathbb{E}((Y_{k-1}+\Delta A_k)\mathbb{E}(\Delta M_k\mid\mathcal{F}_{k-1})) =0. \]

It follows that \( {\mathbb{E}(M_n^2)=\mathbb{E}((M_n-M_0)^2)=\sum_{k=1}^n\mathbb{E}((\Delta M_k)^2)\leq1} \).

Martingales bounded in \( {\mathrm{L}^2} \). If \( {{(M_n)}_{n\geq0}} \) is a martingale bounded in \( {\mathrm{L}^2} \), then there exists \( {M_\infty\in\mathrm{L}^2} \) such that \( {\lim_{n\rightarrow\infty}M_n=M_\infty} \) almost surely and in \( {\mathrm{L}^2} \).

Proof. For all \( {n,m} \), for all \( {1\leq k<n} \), we have, denoting \( {\Delta M_k=M_k-M_{k-1}} \),

\[ \mathbb{E}(\Delta M_k\Delta M_n) =\mathbb{E}(\mathbb{E}(\Delta M_k\Delta M_n\mid\mathcal{F}_{n-1})) =\mathbb{E}(\Delta M_k\mathbb{E}(\Delta M_n\mid\mathcal{F}_{n-1})) =0. \]

This orthogonality of successive increments gives, for all \( {n,m\geq0} \),

\[ \mathbb{E}((M_{n+m}-M_n)^2) =\sum_{k=n+1}^{n+m}\mathbb{E}((\Delta M_k)^2). \]

In particular, since \( {\sup_{n\geq0}\mathbb{E}(M_n^2)<\infty} \), we get \( {\sup_{n\geq0}\mathbb{E}((M_n-M_0)^2)<\infty} \), and thus \( {\sum_{k\geq0}\mathbb{E}((\Delta M_k)^2)<\infty} \). Moreover \( {{(M_n)}_{n\geq0}} \) is a Cauchy sequence in \( {\mathrm{L}^2} \), and thus it converges in \( {\mathrm{L}^2} \) to some \( {M_\infty\in\mathrm{L^2}} \). It remains to establish almost sure convergence. It suffices to show that \( {{(M_n)}_{n\geq0}} \) is almost surely a Cauchy sequence. Let us define

\[ X_n=\sup_{i,j\geq n}|M_i-M_j|. \]

Now it suffices to show that almost surely \( {\lim_{n\rightarrow\infty}X_n=0} \). Actually \( {0\leq X_n\searrow X_\infty} \) as \( {n\rightarrow\infty} \) almost surely where \( {X_\infty\geq0} \). Hence it suffice to show that \( {\mathbb{E}(X_\infty^2)=0} \) where the square is for computational convenience later on. By monotone convergence it suffices to show that \( {\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}(X_n^2)=0} \). We have \( {X_n\leq 2Y_n} \) where

\[ Y_n=\sup_{k\geq n}|M_k-M_n|. \]

It suffices to show that \( {\lim_{n\rightarrow\infty}\mathbb{E}(Y_n^2)=0} \). But the Doob maximal inequality for the martingale \( {{(M_{n+k}-M_n)}_{k\geq 0}} \) gives

\[ \mathbb{E}(Y_n^2) \leq 4\sup_{k\geq n}\mathbb{E}((M_k-M_n)^2) =4\sum_{k=n+1}^\infty\mathbb{E}((\Delta M_k)^2), \]

and we already know that the right hand side is the reminder of a converging series!

Finally note that both the limit in \( {\mathrm{L}^2} \) and the almost sure limit are the same either by using uniform integrability and using the uniqueness of the limit in \( {\mathrm{L}^2} \) or by extracting an almost sure subsequence from the \( {\mathrm{L}^2} \) convergence and using the uniqueness of the almost sure limit.

Doob maximal inequalities.

If \( {{(X_n)}_{n\geq0}} \) is a nonnegative submartingale then for all \( {n\geq0} \) and all \( {r>0} \),

\[ \mathbb{P}(\max_{0\leq k\leq n}X_k\geq r)\leq\frac{\mathbb{E}(X_n)}{r} \]

If \( {{(M_n)}_{n\geq0}} \) is a martingale then for all \( {n\geq0} \) and and all \( {p>1} \),

\[ \mathbb{E}\left(\sup_{0\leq k\leq n}|M_k|^p\right) \leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^p\mathbb{E}(|M_n|^p) \]

in particular by monotone convergence we get

\[ \mathbb{E}\left(\sup_{n\geq0}|M_n|^p\right) \leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^p\sup_{n\geq0}\mathbb{E}(|M_n|^p). \]

Note that \( {q=p/(p-1)} \) is the Hölder conjugate of \( {p} \). For \( {p=2} \) then \( {(p/(p-1))^p=4} \).

Proof. For the first inequality, we set \( {T=\inf\{n\geq0:X_n\geq r\}} \). For all \( {k\leq n} \), we have \( {\{T=k\}=\{X_0<r,\ldots,X_{k-1}<r,X_k\geq r\}\in\mathcal{F}_k} \). Also

\[ r\mathbf{1}_{T=k} \leq X_k\mathrm{1}_{T=k} \leq \mathbb{E}(X_n\mid\mathcal{F}_k)\mathbf{1}_{T=k} =\mathbb{E}(X_n\mathbf{1}_{T=k}\mid\mathcal{F}_k) \]

hence

\[ r\mathbb{P}(T=k)\leq\mathbb{E}(X_n\mathbf{1}_{T=k}) \]

and summing over all \( {k\leq n} \) gives

\[ r\mathbb{P}(T\leq n)\leq\mathbb{E}(X_n\mathbf{1}_{T\leq n}). \]

It remains to note that \( {\{\max_{0\leq k\leq n}X_k\geq r\}=\{T\leq n\}} \) to get the first inequality.

For the second inequality, we use the proof of the first part with the nonnegative submartingale \( {{(|M_n|)}_{n\geq0}} \). This gives, for all \( {r>0} \), denoting \( {S_n=\max_{0\leq k\leq n}|M_k|} \),

\[ r\mathbb{P}(S_n\geq r)\leq\mathbb{E}(|M_n|\mathbf{1}_{S_n\geq a}). \]

Now

\[ \int_0^\infty r\mathbb{P}(S_n\geq r)pr^{p-2}\mathrm{d}r \leq\int_0^\infty\mathbb{E}(|M_n|\mathbf{1}_{S_n\geq r})pr^{p-2}\mathrm{d}r. \]

Now by the Fubini–Tonelli theorem, this rewrites

\[ \mathbb{E}\int_0^\infty r\mathbf{1}_{S_n\geq r}pr^{p-2}\mathrm{d}r \leq\mathbb{E}\int_0^\infty|M_n|\mathbf{1}_{S_n\geq r}pr^{p-2}\mathrm{d}r \]

namely

\[ \mathbb{E}\int_0^{S_n} pr^{p-1}\mathrm{d}r \leq\frac{p}{p-1}\mathbb{E}\int_0^{S_n}|M_n|(p-1)r^{p-2}\mathrm{d}r \]

in other words

\[ \mathbb{E}(S_n^p)\leq\frac{p}{p-1}\mathbb{E}(|M_n|S_n^{p-1}). \]

The right hand side is bounded by the Hölder inequality as

\[ \mathbb{E}(|M_n|S_n^{p-1}) \leq\mathbb{E}(|M_n|^p)^{1/p}\mathbb{E}(S_n^p)^{1-1/p}, \]

hence

\[ \mathbb{E}(S_n^p)\leq\left(\frac{p}{p-1}\right)^p\mathbb{E}(|M_n|^p). \]

Doob decomposition. If \( {{(X_n)}_{n\geq0}} \) is adapted, and integrable in the sense that \( {\mathbb{E}(|X_n|)<\infty} \) for all \( {n} \), then there exists a martingale \( {M} \) and a predictable process \( {A} \) such that

\[ M_0=A_0=0\quad\text{and}\quad X=X_0+M+A. \]

Moreover this decomposition is unique. Furthermore if \( {X} \) is a submartingale then \( {A} \) is nondecreasing and there exists \( {A_\infty} \) taking values in \( {[0,+\infty]} \) such that almost surely

\[ 0\leq A_n\underset{n\rightarrow\infty}{\nearrow} A_\infty. \]

Recall that predictable means that \( {A_n} \) is \( {\mathcal{F}_{n-1}} \) measurable for all \( {n\geq1} \).

The process \( {A} \) is the compensator of \( {X} \) in the sense that \( {X-A} \) is a martingale. For a martingale \( {N} \), the compensator of the submartingale \( {X=N^2} \) is the increasing process of \( {N} \).

There is a continuous time analogue known as the Doob–Meyer decomposition.

Proof. Note that \( {A} \) is necessarily integrable too. For the uniqueness, if \( {X=X_0+M+A} \) then

\[ \mathbb{E}(X_{n+1}-X_n\mid\mathcal{F}_n)=A_{n+1}-A_n, \]

and since \( {A_0=0} \) we get, for all \( {n\geq1} \),

\[ A_n=\sum_{k=0}^{n-1}\mathbb{E}(X_{k+1}-X_k\mid\mathcal{F}_k), \]

and \( {M_n=X_n-X_0-A_n} \). For the existence, we set \( {A_0=M_0=0} \) and we use the formulas above to define \( {A_n} \) and \( {M_n} \) for all \( {n\geq1} \). Since \( {X} \) is adapted, \( {A_{n+1}} \) and \( {M_n} \) are \( {\mathcal{F}_n} \) measurable. By definition \( {A_n} \) is integrable and since \( {X_n} \) is integrable we also have that \( {M_n} \) is integrable. Moreover \( {\mathbb{E}(M_{n+1}-M_n\mid\mathcal{F}_n)=0} \) because

\[ M_{n+1}-M_n =X_{n+1}-X_n-(A_{n+1}-A_n) =X_{n+1}-X_n-\mathbb{E}(X_{n+1}-X_n\mid\mathcal{F}_n). \]

Finally, when \( {X} \) is a submartingale then for all \( {n\geq0} \) we have

\[ \begin{array}{rcl} A_{n+1}-A_n &=&\mathbb{E}(A_{n+1}-A_n\mid\mathcal{F}_n)\\ &=&\mathbb{E}(X_{n+1}-X_n\mid\mathcal{F}_n) -\mathbb{E}(M_{n+1}-M_n\mid\mathcal{F}_n)\\ &=&\mathbb{E}(X_{n+1}-X_n\mid\mathcal{F}_n) \geq0. \end{array} \]

Curiosity. In the special case of nonnegative martingales bounded in \( {L\log L} \), there is an information theoretic argument due to Andrew R. Barron that resembles a little bit to the one that we have used for continuous martingales in a previous post. This is written in an apparently unpublished document available online.

Thanks. This post benefited from discussions with Nicolas Fournier and Nathaël Gozlan.

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Une expérience banale d’enseignement à distance

Carte postale par Jean-Marc Côté, dans la série En l'an 2000, 1899, popularisée par Isaac Azimov.
Carte postale par Jean-Marc Côté, 1899, dans la série En l’an 2000 popularisée par Isaac Azimov.

Le mois de septembre est le mois de mon cours d’initiation au calcul stochastique. Il s’agit d’un cours intensif en anglais de 12 fois 3 heures, accompagné de séances de travaux dirigées données par un collègue. Ce cours fait partie du Master 2 MASEF et du Master 2 MATH. Pour le M2 MASEF, il constitue une brique de base indispensable à beaucoup d’autres cours, d’où son caractère intensif. Les deux premières semaines comptent 3 séances de 3 heures, et les trois semaines suivantes 2 séances de 3 heures. Étant donnés les enjeux pour le M2 MASEF, j’ai renoncé pour ce cours, au moins pour cette année, à expérimenter une méthode pédagogique plus audacieuse et risquée à base de pédagogie inversée.

Modalités. En ces temps de coronavirus, Paris-Dauphine autorise les M2 à recourir à l’enseignement sur site pour 50% des effectifs. Or les tests que j’ai pu mener dans la salle qu’on m’a attribué ne m’ont vraiment pas convaincu : tableau blanc sale et trop petit difficile à filmer, vidéoprojecteur qui vibre, … L’enseignement hybride comodal pour ce cours sera peut-être pour l’année prochaine ! J’ai donc renoncé au 50% sur site et je suis passé au 100% à distance. Vérification faite, cela était compatible avec la politique de non fragmentation de la journée étudiante. Au vu du passage à distance, un étudiant a alors manifesté sa peur, un autre a protesté car d’autres universités ne font pas cela, et un autre encore a dit qu’il était bloqué à l’étranger à cause de l’épidémie. Au bout de trois séances de cours, j’ai effectué un sondage, une petite majorité préférait continuer à distance plutôt que de venir sur place avec roulement. Je dois dire que j’aurais préféré une majorité forte pour l’un ou l’autre, car je suis manifestement dans une situation où l’hybride comodal de qualité aurait satisfait tout le monde !

Mise en route. J’ai obtenu une équipe Teams via le portail des services numériques. Avant le premier cours,  j’ai communiqué le code et le lien de l’équipe aux étudiants, et mon numéro de téléphone, en disant que je pouvais les dépanner sur Whatsapp. La plupart ont utilisé le lien. J’ai ajouté à la main ceux qui n’avaient pas de compte Passeport, comme membres invités. Trois d’entre eux ont demandé de l’aide par Whatsapp avant d’y arriver seuls finalement. J’ai ajouté le chargé de TD et l’assistante de formation à l’équipe, créé des canaux privés « Administration » et « Enseignants », des canaux publics « Lectures », « Exercises », et « Exams », et ajouté un onglet avec lien vers mes notes de cours LaTeX en PDF sur le canal Lectures. Ces notes incorporent un planning détaillé des séances de cours, et sont mises à jour régulièrement. J’ai rajouté les annales corrigées au canal Examens, et les exercices dans le canal Exercises.

Équipement. J’utilise une tablette Samsung Galaxy Tab S6, connectée sur Teams via Eduroam, et dont je partage l’écran J’utilise l’app Notes de Samsung avec laquelle j’écris en direct avec le stylet. Je me connecte une seconde fois simultanément à Teams avec mon ordinateur fixe connecté en filaire pour bien voir les participants et le fil de discussion, et je m’en sert pour le son et la vidéo de mon visage. Le stylet de la S6 est remarquable et ne fatigue pas. Mon ordinateur est sous Linux Ubuntu 20.04, et ma tablette S6 sous Android. Si je n’avais pas eu de S6, j’aurais probablement utilisé ma tablette graphique Wacom One, et xournal++. Mes notes sont comme celles que j’aurais produites sur un tableau blanc infini, avec aucune rature et sans se salir !

Une tablette graphique (Wacom, XP Pen, …) ne comporte en général aucun écran intégré, c’est un dispositif de pointage, comme une souris, qui prend la forme d’un stylet que l’on déplace sur un support plat et opaque. Il faut donc un apprentissage, comme pour la souris, avant de parvenir à s’en servir sans la regarder, en regardant l’écran de l’ordinateur auquel elle est connectée. Cela est un peu déroutant au début voire rebutant pour certains. Mais l’avantage est qu’on regarde à terme l’écran et donc la caméra comme m’a dit un collègue ! A contrario, pour une tablette tactile avec stylet (Apple iPad, Samsung Galaxy Tab, …), on est immédiatement à l’aise car on écrit sur un véritable écran sur lequel s’affiche ce qu’on écrit. Les stylets des tablettes graphiques, même d’entrée de gamme, sont précis et sans latence en général, tandis que pour les tablettes tactiles, l’entrée de gamme peut s’avérer décevante en terme de précision ou de latence. Le stylet des tablettes graphiques est typiquement passif sans besoin de chargement tandis que celui des tablettes tactiles haut de gamme nécessite un rechargement régulier. Des tablettes graphiques de qualité au format quasiment A4 sont disponibles à prix modique, comme la Wacom One Medium ou la One By Wacom M. Sur un Linux Ubuntu 20.04, ces Wacom sont reconnues immédiatement sans avoir besoin d’installer un pilote, contrairement à Mac OS ou Windows !

Teams. J’ai déjà donné 6 séances de 3 heures avec deux pauses de ~10/15 minutes à chaque séance. Je n’enregistre pas mais je partage, après chaque séance, le PDF des notes écrites, qui ne sont pas identiques à mon polycopié LaTeX. Les étudiants posent des questions orales ou écrites pendant le cours, autant voire plus qu’à l’accoutumée. Il m’a fallu faire le « community manager » au début pour tout le monde, et canaliser vers l’équipe Teams. Une équipe Teams peut servir même indépendamment de l’enseignement à distance, car elle permet de regrouper, documents pédagogiques et administratifs, interactions, et capacité à se interagir à distance si nécessaire.  Pour chaque séance de cours, je crée un événement dans le calendrier de Teams, et j’ajoute le canal Lectures. Pas besoin de spécifier les participants. L’événement s’affiche dans le canal. Le chargé de TD a décidé de faire la même chose. Il est possible d’éditer les options de réunion pour faire en sorte que même les membres invités passent outre la salle d’attente, et pour aussi se déclarer seul présentateur, et donc seul capable de coupe tous les micros ou de lancer l’enregistrement vidéo. Au début certains étudiants sont perdus et rejoignent l’événement bien avant sa tenue ou se trompent. Il est possible de télécharger la liste des participants (allées/venues) via les “…” de la liste des participants, en fin de visioconférence.

Couacs et difficultés. Je n’ai eu pour l’instant une seule déconnexion WiFi, après une pause, peut-être à cause du passage en mode veille de la S6. Il faut penser à couper les notifications sur la tablette pour éviter les messages gênants, et couper le micro et le son au lancement pour ne pas avoir d’effet Larsen avec ceux de l’ordinateur fixe. Parfois un étudiant demande de repartager l’écran de la tablette parce qu’il a du se reconnecter et qu’il ne le voit plus. Les étudiants n’activent pas leur caméra en général pendant le cours, c’est d’ailleurs à mon sens la perte principale par rapport à l’enseignement sur site. Certains ne peuvent pas faire autrement car ils n’ont pas une connexion suffisante, par manque de moyens et/ou par manque d’anticipation, d’autres sont timides, ou en pyjama, l’un n’empêchant pas l’autre. Il est intéressant de constater à quel point les humains peuvent être parfois eux-mêmes responsables de la déshumanisation alors même que le numérique leur permet de réhumaniser les relations à distance. D’après les étudiants, un cours à distance de ce type est plus difficile à suivre qu’un cours sur site, surtout sur petit écran, et aussi parce qu’il est possible de faire autre chose en même temps, mais cela reste suivable. L’un d’entre eux n’avait qu’un smartphone au départ…

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Actualité linguistique

Le Chat NéologismesAvez-vous remarqué que le nouveau mot distanciel s’écrit partout avec un c tandis que le mot présentiel s’écrit avec un t ? Pourtant distance et présence s’écrivent tous deux avec un c, tandis que distant et présent s’écrivent tous deux avec un t. Est-ce -ance versus -ence ?

Voici ce que dit un dictionnaire d’usage de Jouette prisé par certains éditeurs m’a-t-on dit (1) : « Se terminent par -ciel les adjectifs artificiel, cicatriciel, circonstanciel, didacticiel, indiciel, logiciel, matriciel, officiel, préjudiciel, progiciel, révérenciel, superficiel, sacrificiel, tendanciel. Les autres adjectifs sur cette rime se terminent par -tiel : présentiel, substantiel, etc. ».

Entre ciel et tiel

Il est amusant de constater que distanciel n’est pas dans la liste, mais pourrait y côtoyer logiciel et superficiel tandis que présentiel côtoie substantiel ! Le Jouette est probablement trop ancien pour intégrer le néologisme distanciel, très utilisé en ce moment. La langue est toujours en tension entre règle, usage, et créativité des locuteurs… D’autres dictionnaires sont plus radicaux ou datent encore plus ou tout autant, comme en témoigne cet extrait d’une édition du Grévisse de 2008 (2) :

grevisse-ciel-tiel-sk

Les dictionnaires d’usage mentionnés ci-dessus sont en retard sur l’usage actuel, qui a installé le néologisme distanciel, avec un c, partout, souvent près de présentiel avec un t. D’autre part ils n’abordent pas la question des dynamiques linguistiques qui expliquent les usages. Le mystère reste donc entier. On écrit peut-être présentiel avec un t car le mot existe depuis longtemps, et cela est renforcé par les correcteurs orthographiques, tandis que pour le néologisme distanciel, on préfère peut-être -ciel car c’est dans l’air du temps, comme dans logiciel. L’usage du t pour le son s est peut-être un archaïsme, une complexion, délaissée par l’usage. Il semble (3) que plusieurs tentatives de réforme de l’orthographe visaient à remplacer tous les -tiel par -ciel. Une autre piste, complémentaire, est l’influence du mot distanciation, qui existe depuis longtemps, et qui est tout aussi actuel. Le mot présentiation ne semble pas exister. D’autres néologismes reliés sont apparus, comme par exemple présentialiste et distancialiste. Un beau dynamisme linguistique !

Voici enfin un avis de l’Académie française, qui se sert d’une innovation passée pour freiner les innovations actuelles : « Le Centre national d’enseignement à distance (le CNED) a été créé en 1939, il y a donc plus de quatre-vingts ans. Cette assez longue histoire a permis de faire entrer la locution enseignement à distance dans l’usage. Aussi n’est-il sans doute pas nécessaire de remplacer cette forme par l’expression « en distanciel », trop largement répandue en ces temps de fermeture partielle de nombre d’établissements scolaires. Parallèlement à « à distance », on emploiera « en présence », plutôt que l’anglicisme présentiel, calque maladroit et peu satisfaisant de l’anglais presential. »

Quoi qu’il en soit, à Paris-Dauphine / PSL, nous avons un groupe de travail « Formation à distance ».

(1) Merci à Jean Dolbeault
(2) Merci à Florian Sikora
(3) Merci à Jacques Féjoz qui a consulté Lise Charles

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Unison

Unison file synchronizer

I have been using for years Unison over SSH to synchronize periodically, automatically, recursively, and bidirectionally my files across my different machines : desktops, laptops, servers, … Unison is an excellent program, which comes with command line interface as well as graphical interface. The problem with Unison is its sensitivity to version numbers. It requires same version on both client and server. Recently, I have experienced an even more subtle sensitivity, Unison seems to require sometimes that both sides were compiled with same version of OCaml compiler!

My desktop computer provides unison 2.48.4 on Ubuntu 20.04 while the department server provides unison 2.48.3 on Ubuntu 16.04. They are incompatible. The simplest would be to ask the sysadmin to upgrade from 16.04 to 20.04 of course. But in the mean time, a user space workaround consists in compiling statically unison on the desktop and copying the static binary on the department server. This is easily done as both machines have same architecture (amd64), cross-compilation can be a delicate task.

#  get some tools necessary for compilation (adapt to your needs)
desktop$ sudo apt install ocaml make
# add source code to /etc/apt/sources.prf by using GUI or manual edit
desktop$ software-properties-gtk
# update dpkg database
desktop$ sudo apt update
# get unison source code
desktop$ apt source unison
# move to the sources
desktop$ cd unison-2.48.4/
# compile a static binary
desktop$ make STATIC=true
# copy this binary to the department server
desktop$ scp unison department.server:~/.u-2.48.4-static
# instruct unison to use this binary by adding a line in configuration file
desktop$ echo ‘servercmd=/home/users/chafai/.u-2.48.4-static’ >> ~/.unison/dep.prf
# test it!
desktop$ unison dep
Here is the compressed binary file: unison-2.48.4-amd64-static.gz.

 

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