J’ai mis à jour très récemment deux documents pédagogiques sur ma page d’enseignement :
- Biais par la taille (préparation à l’agrégation interne, Université Paris-Est Marne-la-Vallée)
- Feuilles d’exercices de probabilités (petites classes de MAP-311, École Polytechnique)
Il est très plaisant d’enseigner les probabilités. Comme vous le savez sans doute, dans les lycées français, la nouvelle seconde (2010), la nouvelle première (2011), la nouvelle terminale (2012), la nouvelle sup (2013), et la nouvelle spé (2014) font la part belle aux probabilités ainsi qu’à une statistique plus descriptive qu’inférientielle. L’intention est bonne mais la mise en œuvre ne fait pas l’unanimité. Il est bien sûr difficile de faire des choix et des compromis pour mieux vivre avec son temps. Il est aussi inquiétant de remettre en cause les habitudes. Il est même terrifiant de devoir enseigner quelque chose jamais vraiment appris ou compris. Une formation continue massive est nécessaire. Rendez-vous dans quelques années pour un bilan. Le programme de terminale C de 1972 contenait un brin de probabilités, y compris l’inégalité de Tchebycheff et la loi faible des grands nombres ! Ah, le-niveau-baisse ! (depuis Euclide).
Petit tour sur les exercices: il y a un sac de noeuds dans celui sur la loi multinomiale, les $X_j$ ne sont pas bien définis et on parle tantôt du vecteur $(X_1,\ldots,X_d),$ tantôt du vecteur $(X_1,\ldots,X_n).$ La bonne manière de parler de la loi multinomiale pour une expérience à $d$ issues est d’introduire la base canonique $(e_1,\ldots,e_d)$ de $\mathbb{R}^d$ et la loi de Bernoulli $B=p_1\delta_{e_1}+\cdots+p_d\delta_{e_d}$ concentrée sur $\mathbb{R}^d.$ Si $Y_1,\ldots,Y_n$ sont iid de loi $B$ alors $Y_1+\ldots+Y_n$ suit la loi multinomiale de paramètres $(n,p_1,\ldots,p_d).$ Elle est singulière en ce sens qu’elle est concentrée sur l’hyperplan affine $x_1+\cdots+x_d=n$.
Autre remarque: à l’exo 2.1, il serait gentil de rappeler qu’ici
$\mathbb{E}(X)\leq \infty.$ Et la plus pion des remarques: à l’exo 1.7, chalet ne prend pas d’accent, à la différence de châle et de châlit….
Grand merci Gérard pour cette chasse aux coquilles : c’est corrigé. Je suis évidemment d’accord avec vous pour la loi multinomiale. Sa définition comme loi de la somme de v.a.r. i.i.d. n’est pas donnée car ils doivent la trouver !