En mathématiques appliquées, on parle de problème inverse lorsqu’on cherche à reconstituer une information inconnue à partir de son observation indirecte au travers d’un canal distordant et bruité. Il s’agit donc d’opérer l’inversion d’une transformation. Les exemples sont nombreux. En théorie du signal, les radaristes cherchent à reconstituer la trajectoire de l’avion à partir de la signature radar. En informatique, le récepteur cherche à reconstituer le message de l’émetteur malgré la mauvaise qualité du canal de communication. Le pirate cherche à reconstituer la clé secrète à partir d’observations indirectes. En sciences de la terre, les météorologues cherchent à reconstituer les caractéristiques du profil atmosphérique à partir de l’observation des radiances par satellite, malgré la nature complexe du transfert radiatif. Les ingénieurs cherchent à reconstituer la géométrie et la nature du sous-sol à partir des enregistrement sismographiques. En biologie, les pharmacologues cherchent à reconstituer certaines caractéristiques biologiques du patient à partir de l’observation bruitée des cinétiques du principe actif dans son sang. Les imagistes cherchent à reconstituer la structure des organes internes du patient à partir de l’observation bruitée de IRM ou PET. Les problèmes inverses sont légion et en dresser une liste plus longue serait idiot.
Mathématiquement, on peut représenter schématiquement un problème inverse sous la forme suivante : trouver un $X$ raisonnable tel que $Y\approx F(X,\varepsilon)$. Ici, $Y$ est l’observation, $F$ la transformation, $\varepsilon$ le bruit, et $X$ l’information recherchée non observée. Bien évidement, les problèmes concrets font intervenir des covariables et du temps dans bien des cas. La fonction $F$ est souvent connue, mais pas toujours complètement, et la linéarité est rarement au rendez-vous en première approche. D’un point de vue statistique, nous n’avons pas affaire à un problème de régression car $X$ n’est pas connu. Une idée vague qui permet de résoudre un certain nombre de problèmes inverses consiste à minimiser $X’\mapsto d(F(X’,\varepsilon),Y)+P(X’)$ sur une classe de signaux $X’$. Ici $d$ est une distance dans l’espace des observations et $P$ une pénalité qui pénalise les $X’$ trop complexes. Le traitement du bruit dépend de la situation. Ce point de vue de l’optimisation permet de définir un estimateur de $X$. L’essentiel de la statistique de l’estimation peut être traduit sous forme de problème inverse. Les problèmes de débruitage et de filtrage sont fortement reliés aux problèmes inverses. Lorsque le temps intervient, des approches récursives sont disponibles. Plus récemment, de nouvelles techniques mathématiques ont permis de prendre en compte la sparsité du signal $X$. Ainsi, il est possible de traiter le cas où $Y$ est de dimension beaucoup plus petite que $X$, pourvu que la dimension «réelle» du signal $X$ soit beaucoup plus petite que l’espace dans le lequel il est représenté, en raison de sa sparsité.
À l’heure actuelle, le problème inverse le plus célèbre est sans doute celui du climat…
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