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Month: December 2012

Random variables and the probstitute

A random walk loop of length 1000

J. L. Doob during an interview with J. L. Snell : While writing my book (Stochastic Processes, Wiley, 1953) I had an argument with Feller. He asserted that everyone said “random variable” and I asserted that everyone said “chance variable”. We obviously had to use the same name in our books, so we decided the issue by a stochastic procedure. That is, we tossed for it and he won. […]. After the book was published in 1953 I thought that the popularity of martingale theory was because of the catchy name “Martingale” just as everyone was intrigued by my proposal (which actually never came to anything, although financing was available) that the University of Illinois should sponsor a probability institute, to be called the “Probstitute”. Of course martingale theory had so many applications in and outside of probability that it had no need of the catchy name.

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An exercise on stopping times

Dice

This post provides the solution to a tiny exercise of probability theory, answering the question asked by a student during the MAP-432 class yesterday. Let \( {(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})} \) be a probability space equipped with a filtration \( {{(\mathcal{F}_n)}_{n\geq0}} \). Recall that a random variable \( {\tau} \) taking values in \( {\mathbb{N}=\{0,1,\ldots\}} \) is a stopping time when \( {\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_n} \) for any \( {n\in\mathbb{N}} \). We define the \( {\sigma} \)-field \( {\mathcal{F}_\tau:=\{A\in\mathcal{F}:\forall n,\{\tau=n\}\cap A\in\mathcal{F}_n\}} \). Remarkably, for any integrable random variable \( {X} \) and for any \( {n\in\mathbb{N}} \),

\[ \mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\tau)\mathbf{1}_{\{\tau=n\}} =\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_n)\mathbf{1}_{\{\tau=n\}}. \]

To see it, for every \( {A\in\mathcal{F}_n} \), since \( {A\cap\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_\tau} \) and \( {\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_\tau} \), we get

\[ \mathbb{E}(\mathbf{1}_AX\mathbf{1}_{\{\tau=n\}}) =\mathbb{E}(\mathbf{1}_{A\cap\{\tau=n\}}\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\tau)) =\mathbb{E}(\mathbf{1}_A\mathbb{E}(X\mathbf{1}_{\{\tau=n\}}|\mathcal{F}_\tau)), \]

and therefore \( {\mathbb{E}(X\mathbf{1}_{\{\tau=n\}}|\mathcal{F}_n) =\mathbb{E}(X\mathbf{1}_{\{\tau=n\}}|\mathcal{F}_\tau)} \). Now \( {\{\tau=n\}\in\mathcal{F}_n\cap\mathcal{F}_\tau} \).

A nice property. If \( {\tau} \) and \( {\theta} \) are stopping times then \( {\tau\wedge\theta:=\min(\tau,\theta)} \) is a stopping time, and moreover for every integrable random variable \( {X} \),

\[ \mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\theta)|\mathcal{F}_\tau) =\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\tau)|\mathcal{F}_\theta) =\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{\tau\wedge\theta}). \]

Note that if both \( {\tau} \) and \( {\theta} \) are deterministic (i.e. constant) then we recover the usual tower property of conditional expectations. Note also that the events \( {\{\tau\leq\theta\}} \), \( {\{\tau=\theta\}} \), and \( {\{\tau\geq\theta\}} \) all belong to \( {\mathcal{F}_\tau\cap\mathcal{F}_\theta} \), and that \( {\mathcal{F}_{\tau\wedge\theta}\subset\mathcal{F}_\tau\cap\mathcal{F}_\theta} \).

Proof. The fact that \( {\tau\wedge\theta} \) is a stopping time is left to the reader. To prove the property on conditional expectations, it suffices by symmetry to prove the second equality, i.e. that for every \( {A\in\mathcal{F}_\theta} \), by denoting \( {Y:=\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_{\tau\wedge\theta})} \),

\[ \mathbb{E}(Y\mathbf{1}_A) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\tau)\mathbf{1}_A). \]

We start by observing that \( {Y\mathbf{1}_{\{\tau\leq\theta\}}= \mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\tau)\mathbf{1}_{\{\tau\leq\theta\}}} \) which gives immediately

\[ \mathbb{E}(Y\mathbf{1}_A\mathbf{1}_{\{\tau\leq\theta\}}) =\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\tau)\mathbf{1}_A\mathbf{1}_{\{\tau\leq\theta\}}). \]

On the other hand, we have

\[ \mathbb{E}(Y\mathbf{1}_A\mathbf{1}_{\{\tau>\theta\}}) =\sum_{k=0}^\infty\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_k)\mathbf{1}_{A\cap\{\tau>k\}\cap\{\theta=k\}}). \]

Now, since \( {B_k:=A\cap\{\tau>k\}\cap\{\theta=k\}\in\mathcal{F}_k\cap\mathcal{F}_\tau} \),

\[ \mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_k)\mathbf{1}_{B_k}) =\mathbb{E}(X\mathbf{1}_{B_k}) =\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\tau)\mathbf{1}_{B_k}) \]

which gives, by summing over \( {k} \),

\[ \mathbb{E}(Y\mathbf{1}_A\mathbf{1}_{\{\tau>\theta\}}) =\mathbb{E}(\mathbb{E}(X|\mathcal{F}_\tau)\mathbf{1}_A\mathbf{1}_{\{\tau>\theta\}}). \]

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Coût des publications : un exemple instructif

Une version étendue de ce billet devrait paraître en 2013 dans la Gazette des mathématiciens.

La question du coût des publications scientifiques préoccupe de manière récurrente la communauté mathématique, en raison des excès mercantiles des grands éditeurs à but lucratif. Ce billet est consacré à l’étude d’un exemple instructif.

L’exemple choisi est Electronic Journal of Probability (EJP), une revue à comité de lecture d’audience internationale, l’une des meilleures en théorie des probabilités. Établie en 1995, elle publie une centaine d’articles par an. Elle est associée à une revue sœur, Electronic Communications in Probability (ECP), qui publie environ une soixantaine d’articles courts par an. Les articles de EJP-ECP sont publiés uniquement sous forme électronique. L’accès est entièrement gratuit, à la fois pour les auteurs et pour les lecteurs. Le budget annuel total est de 2700 USD, dont 1700 USD pour l’hébergement du site Internet. Ce budget modique est entièrement assumé par  Institute of Mathematical Statistics (IMS) et Bernoulli Society (BS), deux institutions à but non lucratif.

Ce coût remarquablement bas peut surprendre. Il s’explique par les faits suivants :

  1. les articles sont diffusés uniquement sous forme électronique
  2. le comité éditorial et les rapporteurs ne sont pas rétribués
  3. il n’y a pas de secrétariat et le « managing editor » n’est pas rétribué
  4. la mise en forme est assurée par les auteurs avec une classe LaTeX dédiée
  5. les auteurs sont entièrement responsables du rendu final de leurs articles
  6. le logiciel utilisé par le comité éditorial est un logiciel libre donc gratuit (OJS)
  7. l’hébergement est assuré par un organisme à but non lucratif peu coûteux (PKP)

Il ne tient qu’aux rédacteurs en chefs des revues coûteuses d’adopter ce mode de fonctionnement. Cela n’empêche pas l’existence d’une version imprimée payante, comme le pratiquent déjà certaines revues sponsorisées par IMS.  En guise de conclusion, cet exemple souligne à quel point la balle est dans le camp des scientifiques eux-mêmes.

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