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Inégalité de Cauchy-Schwarz

La preuve la plus courte de l’inégalité de Cauchy-Schwarz serait la suivante, pour \(x,y\neq0\) : \[0\leq\left\Vert\frac{x}{\left\Vert x\right\Vert}\pm\frac{y}{\left\Vert y\right\Vert}\right\Vert^2 =1+1\pm2\frac{\left<x,y\right>}{\left\Vert x\right\Vert\left\Vert y\right\Vert}.\]

Elle est souvent attribuée au mathématicien américano-hongrois Paul Halmos.

La preuve traditionnelle, plus terne, consiste à montrer que le trinôme en \(t\) \[\left\Vert x+ty\right\Vert^2=\left\Vert x\right\Vert^2+2t\left<x,y\right>+t^2\left\Vert y\right\Vert^2\] est positif sur \(\mathbb{R}\)  donc de discriminant négatif. Les deux méthodes fournissent les cas d’égalité. La loi de Stigler affirme qu’Une découverte scientifique ne porte jamais le nom de son auteur. Elle ne serait pas due à Stigler. À propos de l’inégalité de Cauchy-Schwarz, connaissez-vous le mathématicien russo-ukrainien Viktor Bunyakovsky ?

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