Journées PDMP 2012 · Marne-la-Vallée · 26-28 mars

Marne-la-Vallée accueillera les Journées PDMP 2012 du 26 au 28 mars.

• Format : Deux mini-cours, des exposés de type séminaire, et une séance de discussion.
• Mini-cours-1 : Marie Doumic-Jauffret (Ingénieur des Ponts et INRIA Rocquencourt) et Patricia Reynaud-Bouret (CNRS et U. Nice)
  • Modèles déterministes puis aspects stochastiques et statistiques
• Mini-cours-2 :Florent Malrieu (U. Rennes 1)
  • Comportement en temps long de modèles PDMP
• Organisateurs: D. Chafaï, B. Cloez, D. Goreac, M. Hoffmann, M. Martinez
• Assistance administrative et informatique : Audrey Patout, Christiane Lafargue, Laurent Marciniszyn
• Un repas est prévu le soir du 27 mars au restaurant Au moulin Vert (Métro Alésia - GoogleMaps)
• Poster des journées en PDF

Les résumés sont disponibles en fin de page.

• Pour s'inscrire, remplir le formulaire ci-dessous (liste ci-dessus mise à jour automatiquement)
• Pour se protéger de la pollution robotisée, vous devez utiliser le code d'inscription pdmp201203
• Les organisateurs contacteront tous les inscrits une fois les inscriptions closes

Il n'y a pas de frais d'inscriptions. Les repas sont pris en charge.

Les journées auront lieu dans l'amphi A3 du bâtiment Rabelais (numéro 5 dans le plan du campus ci-dessous), à 10 minutes à pied de la station de RER-A Noisy-Champs. Le plus court est de sortir en tête de train quand on vient de Paris.

Clicker ici pour accéder à la page spéciale réservée aux organisateurs

Patricia Reynaud-Bouret et Marie Doumic-Jauffret (Mini-cours)

Apres une rapide introduction des liens potentiels entre Edp du type population sructuree et PDMP, Marie Doumic-Jauffret expliquera comment “trouver ces edp” au vu des problemes modelises, quelles sont leur diversite et adaptabilite, quels types de convergences sont connus et comment inverser les operateurs qui apparaissent numeriquement. Patricia Reynaud-Bouret expliquera quels outils statistiques et probabilistes sont necessaires alors pour etudier les problemes inverses resultant d'un point de vue adaptatif : entre autres, on parlera beaucoup de methodes de lepski, mais aussi de selection de modele, de concentration et de bornes uniformes.

Florent Malrieu (Mini-cours)

Ce cours est consacré à l'étude du comportement en temps long de quelques PDMP issus de différents contextes applicatifs (réseaux de communication, biologie).

Après avoir présenté les méthodes classiques basées sur une approche “à la Meyn et Tweedie” nous montrerons comment obtenir des estimations de convergence pour les distances de Wasserstein et en variation totale. Certains exemples surprenants illustreront la difficulté d'obtenir des résultats généraux.

Enfin, plusieurs perspectives et questions ouvertes seront abordées (critères de comparaison, inégalités fonctionnelles, métastabilité…).

François Dufour

We propose a numerical method to approximate the value function for the optimal stopping problem of a piecewise deterministic Markov process (PDMP). Our approach is based on quantization of the post jump location – inter-arrival time Markov chain naturally embedded in the PDMP, and path-adapted time discretization grids. It allows us to derive bounds for the convergence rate of the algorithm and to provide a computable $\epsilon$-optimal stopping time. This approach is applied to an example of maintenance of a metallic structure subject to corrosion.

Il s'agit d'un travail commun avec B. de Saporta.

Christiane Cocozza-Thivent et Robert Eymard

Notre travail commun, sur l'utilisation de schémas déterministes pour approcher les lois marginales de PDMP impliqués dans différents problèmes de fiabilité dynamique, nous a conduit à approfondir nos recherches dans deux directions différentes que nous présenterons.

Christiane Cocozza-Thivent exposera les réflexions qui ont finalement débouché sur la rédaction du livre électronique “Processus de renouvellement markovien, Processus de Markov déterministes par morceaux” (http://perso-math.univ-mlv.fr/users/cocozza.christiane/recherche-page-perso/RMetPDMP.pdf), l'approche utilisée, les questions qui sont restées sans réponse faute de temps ou d'idées, et une ébauche d'un modèle plus général appelé “Processus à sauts pilotés” (ou DJP pour Driven Jump Process).

Robert Eymard montrera comment, dans certains cas, l'approximation par méthode déterministe (volumes finis) des distributions marginales peut fournir avec précision des informations en fiabilité dynamique. Quelques exemples, dont un qui a servi de benchmark dans la communauté, seront commentés.

Delphine Salort

Cet exposé porte sur l'étude d'une population de neurones excitateurs et ayant une activité spontanée. L'objet est de comprendre d'un point de vue théorique l'impact de la force des interconnexions entre les neurones dans l'apparition de décharges rythmées et synchronisées. Le modèle utilisé est une équation structurée en âge avec éventuellement un terme de fragmentation portant sur la répartition des périodes réfractaires des neurones après qu'ils aient déchargé. On montre que la solution tend vers un état stationnaire lorsque les interconnecxions sont suffisamment faibles, ce qui correspond à un état totalement désynchronisé des neurones. Ensuite on décrit des régimes intermédiaires où l'on construit explicitement plusieurs classes de solutions périodiques qui traduisent l'apparition de rythmes synchronisés au sein des neurones. Ces travaux font l'objet d'une collaboration avec K. Pakdaman et B. Perthame.

Carl Graham

Un modèle markovien est établi pour l'interaction de connexions dans un réseau de communication. L'évolution d'une connexion ne dépend que de sa classe, son état, et la congestion du réseau. La congestion de chaque noeud du réseau est fonction des débits des connexions qui l'utilisent pour leurs transmissions. Chaque connexion subit des pertes dues à la congestion aux différents noeuds qu'elle utilise, et y réagit en contrôlant son débit par un algorithme de type AIMD (additive increase, multiplicative decrease), semblable à ceux implémentés dans TCP (Transmission Control Protocol). Le modèle global est ainsi de type PDMP. Pour réduire la dimension de l'espace d'états (gigantesque), une limite de type champ-moyen multi-classes est prise. La limite est un processus nonlinéaire de type McKean-Vlasov, de dimension le nombre de classes. Les lois invariantes sont alors étudiées ; elles sont solution d'une équation de point-fixe nonlinéaire de dimension finie.

Alexandre Génadot

Nous présenterons une version stochastique du célèbre modèle d'Hodgkin-Huxley introduit afin de décrire l'évolution d'un potentiel d'action le long d'une fibre nerveuse. Ce modèle se présente mathématiquement de manière naturelle comme un processus markovien déterministe par morceaux (PDMP), et plus particulièrement comme un PDMP en dimension infinie dont l'évolution au cours du temps est décrite par une EDP couplée à un processus de saut. Nous exposerons quelques résultats récents relatifs à ce modèle.

Samuel Herrmann

Il est possible, par différents changements d'échelle, d'étudier la convergence de marches aléatoires vers certains processus stochastiques à temps continu. Il est de coutume de mettre ainsi en relation la marche symétrique de Bernoulli avec le mouvement brownien. Mais d'autres processus stochastiques peuvent apparaître lorsque la marche aléatoire n'est pas markovienne mais possède une mémoire de courte durée (marche persistante) voire de durée variable (marche associée à un VLMC - Variable Length Markov Chain). Ces processus limites continus, tels le processus du télégraphe ou le processus du télégraphe généralisé, sont alors déterministes par morceaux et peuvent être décrits relativement précisément.

Bruno Gaujal

We present a class of hybrid systems made of deterministic differential equations and random discrete jumps. We then show how to construct samples of such a stochastic hybrid system that are distributed according to its asymptotic behavior based on an extension to continuous state-space of coupling-from-the-past techniques introduced by Foss and Tweedie (1998) and using suitable envelope trajectories to tackle non-monotonicity. The applicability of the method is illustrated by showing how this framework can be used to model the Squirrel peer to peer system and by reporting a simulation study based on this approach.