Journée Hawkes à Paris-Dauphine - 19 Mars 2014

Six exposés accessibles autour des processus auto-excités de Hawkes.
Lieu : Université Paris-Dauphine Salle C516 (5ème étage, entre les ascenseurs et le département MIDO).

Objectifs. Les processus de Hawkes constituent une famille de processus ponctuels introduite dans les années 70 – pour modéliser à l'origine les répliques des tremblements de terre – et qui suscite un regain d'intérêt et un développement significatif dans de nombreuses applications depuis quelques années, allant des neuro-sciences aux réseaux sociaux en passant par la finance statistique. L'objectif de cette journée est une rencontre informelle autour de six exposés regroupant des probabilistes, des statisticiens et des spécialistes du signal, afin de présenter des résultats récents et des questions ouvertes autour de ce thème.

• 09:00-09:30 Accueil et café
• 09:30-10:15 Emmanuel Bacry (CNRS, École Polytechnique) Simulation et Estimation des Processus de Hawkes. PDF
  Les processus de Hawkes sont aujourd'hui utilisés dans de très nombreuses applications comme la modélisation de répliques de tremblements de terre, la modélisation de séries financières hautes fréquences ou encore la propagation d'information dans les réseaux sociaux. Les problématiques de simulation et d'estimation de ces processus sont essentielles à ces applications. Dans cet exposé, nous présenterons les différents algorithmes de simulation ainsi que les principales méthodes d'estimation tant non paramétriques que paramétriques (notamment en grande dimension). Nous les illustrerons dans diverses applications.
• 10:15-11:00 Nicolas Fournier (Université Pierre-et-Marie Curie, LPMA) Processus de Hawkes en grande dimension. PDF
  Considérons des individus placés sur un graphe $G$. On compte le nombre d'actions $Z^i_t$ effectuées par l'individu $i\in G$ jusqu'au temps $t$. L'intensité de ce processus $Z^i_t$ est supposée dépendre du nombre d'actions récentes (dans un certain sens) de ses voisins. On dit alors que $(Z^i_t)_{i\in G, t\geq 0}$ est un processus de Hawkes. On écrira un tel processus sous forme d'un système d'équations différentielles stochastiques poissonniennes. Cette approche trajectorielle permet de montrer facilement l'existence et l'unicité, en particulier quand le graphe $G$ est infini, sous des hypothèses plus ou moins raisonnables. Nous montrerons aussi comment approcher un processus de Hawkes de grande dimension $N$ par un simple processus de Poisson inhomogène, dans le cadre champs-moyen (où $G=\{1,…,N\}$ et où chaque paire d'individus interagissent de la même manière). Nous nous intéresserons, dans ce cadre, l'échange éventuel des limites temps grand/N grand. Enfin, nous dirons un mot du cas où $G=Z^d$ et où l'interaction se fait au plus proche voisin. Nous étudierons le comportement en temps grand. (En collaboration avec S. Delattre et M. Hoffmann)
• 11:00-11:30 Pause café
• 11:30-12:15 Patricia Reynaud-Bouret (CNRS, Laboratoire J.A. Dieudonné) Estimation of local independence graphs via Hawkes processes to unravel functional neuronal connectivity. PDF
  We will present an adaptation of the Least Absolute Shrinkage and Selection Operator “LASSO” method to the analysis of correlation dynamics of small neuronal populations. Indeed, due to its low computational cost, Lasso is an attractive regularization method for high dimensional statistical settings. Within our framework, we consider multivariate counting processes depending on an unknown function parameter to be estimated by linear combinations of a fixed dictionary. To select coefficients, we propose an adaptive $\ell_1$ penalty, where data-driven weights are derived from new Bernstein type inequalities for martingales. Oracle inequalities are established under assumptions on the Gram matrix of the dictionary. This method is then applied to Hawkes processes as model for spike train analysis. The estimation allows us to recover the functional underlying connectivity as the local dependence graph that has been estimated. Simulations and real data analysis show the excellent performances of our method in practice. This is a joint work with N.R. Hansen, V. Rivoirard, C. Tuleau-Malot, F. Grammont, T. Bessaih, R. Lambert and N. Leresche.
• 12:15-14:15 Pause déjeuner
• 14:15-15:00 Mathieu Rosenbaum (Université Pierre-et-Marie Curie, LPMA) Limit theorems for nearly unstable Hawkes processes. PDF
  Because of their tractability and their natural interpretations in term of market quantities, Hawkes processes are nowadays widely used in high frequency finance. However, in practice, the statistical estimation results seem to show that very often, only nearly unstable Hawkes processes are able to fit the data properly. By nearly unstable, we mean that the L1 norm of their kernel is close to unity. We study in this work such processes for which the stability condition is almost violated. Our main result states that after suitable rescaling, they asymptotically behave like integrated Cox Ingersoll Ross models. Thus, modeling financial order flows as nearly unstable Hawkes processes may be a good way to reproduce both their high and low frequency stylized facts. We then extend this result to the Hawkes based price model introduced by Bacry et al. We show that under a similar criticality condition, this process converges to a Heston model. Again, we recover well known stylized facts of prices, both at the microstructure level and at the macroscopic scale. Joint work with Thibault Jaisson (Ecole Polytechnique).
• 15:00-15:45 François Roueff (Telecom ParisTech) Constrained Hawkes processes for modeling limit order books. PDF
  The limit order book of a financial asset contains a set of limit prices at which volumes of the asset are available for buying or selling. It evolves according to limit and market orders (or cancellations) executed along the time. We consider a simplified limit order book limited to the best bid and best ask limit prices and propose to model the events controlling the dynamics of these two prices. The set of “physical” time instants of the events that modify the best bid and best ask prices can be seen as a multivariate point process. Hawkes processes are multivariate point processes that are easy to estimate and forecast. However they cannot suitably describe the evolution of the prices, since under such a model, the spread between the best bid and best ask prices would eventually diverge with probability one. Therefore, we introduce a class of constrained Hawkes processes which do not suffer from this drawback while still enjoying quite simple estimation and forecasting procedures. We will present necessary and sufficient conditions for the stability of such models. In practice, these conditions can be used to evaluate the volatility of the asset price.
• 15:45-16:15 Pause café
• 16:15-17:00 Eva Löcherbach (Université de Cergy-Pontoise, Laboratoire AGM) Simulation parfaite d'un système de neurones en interactions avec une infinité de composantes. (exposé au tableau)
  Nous considérons un système de neurones en interactions avec une infinité de composantes en temps discret. A chaque instant et pour chaque neurone le processus reporte si un spike a lieu ou pas. Les probabilités de transition dépendent de l'évolution du système entier depuis l'apparition du dernier spike. On peut ainsi décrire le système comme une chaîne de Markov à mémoire variable. Nous montrons comment utiliser une technique probabiliste connue sous le nom de “décomposition de Kalikow” pour construire une version stationnaire du processus à partir d'un algorithme à deux étapes qui fait intervenir la simulation d'un clan d'ancêtre qui sera explicitée. Cette construction implique l'unicité du processus. Finalement nous indiquerons des pistes pour étendre ces résultats à des systèmes infini de processus de Hawkes en interactions, sous une condition adéquate sur l'interaction. (en collaboration avec Antonio Galves)
• 17:00-20:00 Quartier libre
• 20:00-24:00 Dîner en ville Restaurant Au Moulin vert (14ème)

Les inscriptions sont closes.

• CEREMADE · Dauphine
• Djalil Chafaï · Marc Hoffmann · Vincent Rivoirard