\documentclass[12pt]{article}

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\newtheorem{exo}{Exercice}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}

\noindent 
\textbf{Unit\'e D\'ecouverte-Sciences de la Vie \hfill Ann\'ee 99-00}
\bigskip
\hrule

\begin{center}
{\large Seconde feuille de TD~:} \vspace{5mm}\\
{\Large \textbf{Nombres Complexes et D\'eveloppements 
Limit\'es}}
\end{center}


\vspace{1cm}


\begin{exo}
\rm
Mettre sous la forme $a+ib$, $a$ et $b$ réels, les nombres suivants.
$$\mbox{\bf a.}\frac{3+6i}{3-4i},\;\;
 \mbox{\bf b. }\frac{5+2i}{1-2i},\;\;
% \mbox{\bf c.}\frac{2+5i}{1-i}+\frac{2-5i}{1+i},\;\;
 \mbox{\bf c.}\left(-1/2+i\sqrt{3}/2\right)^3,\;\;
 \mbox{\bf d.}\frac{(1+i)^9}{(1-i)^7} .
$$
\end{exo}

\begin{exo}
\rm
Représenter les nombres suivants sous forme trigonométrique: module, argument.
(Faire un dessin est souvent utile).
\begin{enumerate}
\item[{\bf a.}] $1+i$
%\item[{\bf b.}] $1+i\sqrt{3}$
\item[{\bf b.}] $\sqrt{3}+i$
\item[{\bf c.}] $\displaystyle\left(\frac{1+i\sqrt{3}}{1-i}\right)^{20}$
\item[{\bf d.}] $1+e^{i\theta}$ et 
		$\displaystyle\frac{1+e^{i\theta}}{1-e^{i\theta}}$
		pour $\theta\in [-\pi,\pi]$  fixé (et $\theta\neq 0$).
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\rm
Soit $D$ l'ensemble des points du plan dont l'affixe $z$ vérifie $|z|\leq 1$,
soit $K_1$ l'ensemble des points $z$ vérifiant 
 $|\mbox{Re}(z)|\leq 1$ et $|\mbox{Im}(z)|\leq 1$, et
soit $K_2$ l'ensemble des points $z$ vérifiant 
 $|\mbox{Re}(z)| + |\mbox{Im}(z)|\leq 1$.
Dessiner $D$, $K_1$ et $K_2$, et les comparer.
\end{exo}

\begin{exo}
\rm
Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants.
$$\mbox{\bf a. } 7 +24 i,\;\;
  \mbox{\bf b. } 5+12i,\;\;
  \mbox{\bf c.}\frac{1+i\sqrt{3}}{\sqrt{3}+i}.
$$
\end{exo}

\begin{exo}
\rm
Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes.\\
{\bf a.} $z^2-(5-14i)z-2(5i+12)=0$.\\
{\bf b.} $z^4-(5-14i)z^2-2(5i+12)=0$.\\
{\bf c.} $z^6=1+i$.
%{\bf d.} $z^n=1+i$ o\`u $n\in\mathbb{N}^*$ est un entier fixé.
\end{exo}

\begin{exo}
\rm
Soit $f$ une fonction continue de $[0;1]$ \`a valeurs dans $[0;1].$
\begin{enumerate}
\item
Montrer qu'il existe au moins un point $\alpha$ tel que $f(\alpha)=\alpha.$
\item
On suppose de plus que $f$ est d\'erivable sur $[0;1]$ et que sa d\'eriv\'ee
v\'erifie~: $|f'(x) | < 1.$ Montrer alors que $\alpha$ est la seule 
solution de l'\'equation $f(x)=x.$
\end{enumerate}
\end{exo}

\newpage
\begin{exo}
\rm
Donner un d\'eveloppement limit\'e des fonctions suivantes~:
\begin{enumerate}
\item[{\bf a.}] $x \mapsto \exp (\sin x)$ au voisinage de 0, \`a l'ordre 4~;
\item[{\bf b.}] $x \mapsto \tan x$  au voisinage de 
		$\frac{\pi}{4},$ \`a l'ordre 3~;
\item[{\bf c.}] $x \mapsto \arctan (x)$  au voisinage de 0, \`a l'ordre 3~;
\item[{\bf d.}] $x \mapsto \sqrt{x^2 +4x +2}$  au voisinage de 0, 
		\`a l'ordre 3.
\end{enumerate}
\end{exo}


\begin{exo}
\rm
En utilisant les d\'eveloppements limit\'es, calculer les limites suivantes~:
\begin{enumerate}
\item[{\bf a.}] $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \;\;
		\frac{e^x-\cos x -x}{x^2}$
\item[{\bf b.}]  $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \;\;
		\frac{\arctan x -\sin x}{x(\ln(1+x)-x)}$
\item[{\bf c.}] $\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} 
		x\ln\left(\frac{x^2-3}{x^2+x+1}\right)$
\end{enumerate}
\end{exo}

\begin{exo}
\rm
\'Etudier la position du graphe de la fonction $x \mapsto \ln (1+x+x^2)$
par rapport \`a ses tangentes au point $x=0$ et au point $x=-1$.
\end{exo}




\end{document}