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\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
{Toulouse III \hfill \textbf{UE8 - Probabilité}\\}

%%% Debut des exercices

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\bigskip
{\large Examen partiel d'avril 2001}
\bigskip
\end{center}

Bonjour à toutes et à tous. Je vous rappelle que vous avez deux heures, et
qu'aucun document n'est autorisé. Les exercices sont (mutuellement)
indépendants
%\footnote{De toute manière, 
%l'indépendance deux à deux et l'indépendance
%mutuelle ne font qu'une pour un couple d'évènements\ldots} 
et le barême, indicatif, est de huit points pour le premier et
de douze points pour le second. Voilà, vous savez tout. Bon courage !

\begin{exercice}[Principe de Précaution]
  Les laboratoires MadCow$^©$ ont mis au point un test pour dépister
  l'encéphalite spongiforme bovine (ESB). Les experts pensent que 20\% des
  vaches sont atteintes par la maladie. De plus, des expériences ont montré
  que sur cinquante vaches folles qui passent le test, deux ne sont pas
  détectées, et que sur trente vaches saines qui passent le test, une est
  prise pour folle à tort.
 \begin{enumerate}
  \item Calculez la probabilité qu'une vache soit déclarée folle suite au test;
  \item Calculez la probabilité qu'une vache soit saine, sachant qu'elle a été
  déclarée folle suite au test.
 \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[En théorie, ça ne marche pas]
  Depuis qu'il est entré à la fac, Jean Némard a adopté une technique
  révolutionnaire pour préparer ses examens : il travaille peu pendant l'année
  et relit une petite partie de ses notes juste avant l'examen terminal. Dans
  son université, cet examen constitue la seule évaluation de l'année, et avec
  le système qu'il a adopté, Jean a une probabilité $0< p <1$ de réussite. On
  suppose que les performances de Jean aux examens au fil des ans sont
  (mutuellement) indépendantes.
  \begin{enumerate}
  \item Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'années d'études
    nécessaires à Jean pour l'obtention de la première année du DEUG.
    Déterminez la loi de $X$ en fonction de $p$. Calculez explicitement
    $\dP(\{X=n\})$ pour $p=1/3$ et $n=1,2,3$;
  \item Calculez le nombre moyen d'années d'études, en fonction de $p$,
    nécessaires à Jean pour obtenir sa première année de DEUG. Calculez la
    variance de $X$ en fonction de $p$. Donnez les valeurs explicites pour
    $p=1/3$. Que pensez vous de la stratégie de Jean ?
  \item Soit $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d'années d'études
    nécessaires à Jean pour obtenir le DEUG. Montrez que pour tout $n\geq 2$,
    on a
    $$\dP(\{Y=n\})=(n-1) p^2 (1-p)^{n-2};$$
  \item Calculez la moyenne et la variance de $Y$ (pour $p$ quelconque).
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\bigskip

\begin{center}
  ----- Fin -----
\end{center}

\end{document}