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%---- Structure Exercice -----
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\bfseries\sffamily}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

% Lieu - annee
\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
% Lieu - Module
{Toulouse III \hfill \textbf{UE8 - Probabilité, feuille n\degre 5 }\\}
% Titre
%\hrule
%\begin{center} {\Large \textbf{Anneaux et corps} \end{center}
%\hrule
%\vspace*{1cm}

%------------------------------------------------------
% Debut des exercices

\begin{exercice}
Soit $X$ une variable aléatoire réelle admettant pour densité $f$ et soit $a>0$.
Montrer que $Y=aX$ est une variable aléatoire réelle admettant pour 
densité $g(x)=\frac{1}{a} f(\frac{x}{a})$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item
Pour quelle valeur de $C$ la fonction $f(x)=\frac{C}{1+x^2}$ est-elle une
densité de probabilité?
\\
On considère alors $X$ une variable aléatoire réelle admettant cette densité.
On dit alors que $X$ suit la loi de Cauchy.
\item
Pour quelles valeurs de $\alpha \,$ $\mathbb{E}(|X|^{\alpha})$ est-elle finie?
\item
Calculer la fonction de répartition $F$ de $X$ et son inverse $G$.
Montrer que si $U$ est une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$,
alors $G(U)$ suit la loi de Cauchy. 
\\{\it Remarque:} Ce procédé est général et permet de simuler des lois
dont on sait inverser la fonction de répartition gr\^ace à la simulation
 d'une loi uniforme.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Chacun sait que le temps de survie (en jours) d'une savonette est une variable
aléatoire $T>0$ dont la loi admet une densité de la forme
$f(t)=\lambda^2te^{-\lambda t}$. Une longue expérience indique que la
moyenne $E(T)$ est de $20$ jours. Calculer le paramètre $\lambda$
ainsi que la fonction de répartition de la variable aléatoire $T$.
Calculer la probabilité pour que la savonette dure plus de $30$ jours
sachant qu'elle est toujours là au bout de $10$ jours.
\end{exercice}

\begin{exercice}
On appelle loi \textit{gamma} de paramètres $a>0$ et $p>0$ la loi
notée $G(a,p)$ dont la densité est de la forme suivante 
\[
 f(t)=\left\{ \begin{array}{cl}
          C(a,p) e^{-at} t^{p-1} &\text{\quad si \quad} t>0\\
          0 &\text{\quad sinon}.
        \end{array}      
\right.
\]

\noindent 1)
Déterminer la constante $C(a,p)$
(rappel : $\Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt$).
Vérifier que la loi exponentielle est un cas particulier de la loi
\textit{gamma}. 

\noindent 2)
Calculer les moments d'ordre $k$ d'une loi \textit{gamma}. Moyenne et
variance ? (On pourra utiliser la formule
$\Gamma(a+n)/\Gamma(a)=(a+n-1)\ldots (a+1)a$ valable pour tout réel $a\geq 0$
et tout entier $n$).

\noindent 3)
Calculer la transformée de Laplace de la loi $G(a,p)$.
En déduire que la somme de $n$ variables aléatoires indépendantes 
de m\^eme loi $G(a,p)$ est encore une loi \textit{gamma} dont on 
précisera le paramètre.
En particulier la somme de variables exponentielles indépendantes
est une loi \textit{gamma} (mais pas exponentielle).
\end{exercice}



\begin{exercice}
Soit $Z=(X,Y)$ une variable aléatoire vectorielle de $\mathbf{R}^2$ suivant
la loi uniforme sur le triangle de sommets $(0,0)$, $(0,1)$ et $(1,0)$.
Expliquer ce que celà signifie. Donner la densité de la loi de $Z$.
Déterminer les lois marginales de $Z$ (i.e. celle de $X$ et $Y$)
puis la loi conditionnelle de $X$ sachant $\{Y=y\}$ et de $Y$ sachant $\{X=x\}$.
Les v.a. marginales $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
Un tireur à l'arc vise une cible dont on prendra le centre comme origine $O$
du plan.
La flèche touche le point $M$ de coordonnées $(X,Y)$, et on modélise 
l'habilité du tireur en supposant que $X$ et $Y$ sont indépendantes
de m\^eme loi gaussienne centrée réduite.
\begin{enumerate}
\item
Soit $T=(OM)^2=X^2+Y^2$ la variable aléatoire mesurant la distance au carré  entre la flèche et
le centre de la cible.
Quelle est sa loi?
\item
M\^eme question pour l'angle formé entre l'axe des abscisses et $OM$.
\end{enumerate}
\end{exercice}



\end{document}