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%---- Structure Exercice -----
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\bfseries\sffamily}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

% Lieu - annee
\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
{Toulouse III \hfill \textbf{DEUG MIAS - Probabilité, feuille n\degre 4}}

\bigskip
%------------------------------------------------------
% Debut des exercices

\begin{exercice}
Soit $(X_n)_{n\in \dN}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de loi
de \textsc{Bernoulli} sur $\BRA{0,1}$ de paramètre $p \in ]0,1[$. On pose 
$$
 Y_n = X_n X_{n+1} \,; \quad S_n=\sum_{k=1}^n X_k \quad \text{et} \quad 
V_n=\sum_{i=1}^n Y_i\,.
$$
\begin{enumerate}
\item
Calculer les espérances et variances de $S_n$ et $V_n$. 
\item
Calculer $\cov{}{S_n}{V_n}$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\dN$. On pose pour tout $n
  \in \dN$, $t_n= \dP\PAR{\BRA{X=n}}$. Soit $p\in]0,1[$. On effectue une suite
  d'expériences de \textsc{Bernoulli}, indépendantes (et indépendantes de
  $X$) de m\^eme paramètre $p$, dont le nombre est donné par $X$ (c'est-à-dire
  que si $X$ prend la valeur $n$, on effectue $n$ expériences). On définit les
  variable aléatoire $S$, égale au nombre de succès, et $E$, égale au nombre
  d'échecs.
\begin{enumerate} 
\item 
Déterminer les lois des couples $(X,S)$, $(X,E)$ et $(S,E)$ en fonction de $p$
et de~$(t_n)_n$. 
\item
On suppose que $X$ suit une loi de \textsc{Poisson} de paramètre $\la$. 
\begin{enumerate}
\item
Déterminer les lois de $S$ et de $E$ (on trouvera des lois classiques). 
\item
Étudier l'indépendance de $E$ et $S$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Un élément chimique émet des électrons pendant une période $T$. Le nombre
d'électrons émis est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de
\textsc{Poisson} de paramètre $\la$. Chaque électron a une probabilité $p$
d'avoir un effet biologique (on dira qu'il est efficace). Soit $Z$ la variable
aléatoire égale au nombre d'électrons efficaces émis pendant une période $T$. 
\begin{enumerate} 
\item 
Déterminer la loi du couple $(Y,Z)$. 
\item
Déterminer la loi de $Z$. Calculer son espérance. 
\end{enumerate} 
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\dN$, indépendantes
et de m\^eme loi donnée par :
$$
\forall n\in \dN\,, \quad \dP\PAR{\BRA{X=n}}=p(1-p)^n\,\quad \text{où } 
p\in ]0,1[\,.
$$
On note $V$ la variable aléatoire égale au minimum de $X$ et de $Y$ et $W$
celle égale à la différence $X-Y$. 
\begin{enumerate}
\item
Déterminer la loi du couple $(V,W)$. En déduire les lois de $V$ et $W$.
\item
Montrer que $V$ et $W$ sont indépendantes. 
\item
Réciproquement, soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans
$\dN$, indépendantes et de m\^eme loi satisfaisant à 
$$
\forall n\in\dN\,,\quad \dP\PAR{\BRA{X=n}} \neq 0\,.
$$
Les variables aléatoires $V$ et $W$ sont définies comme précédemment. 

Montrer que si $V$ et $W$ sont indépendantes alors $X$ et $Y$ suivent une loi
géométrique sur $\dN$ dont on précisera le paramètre. 

\emph{Indication :} calculer de deux façons différentes 
$$
   \frac{ \dP\PAR{\BRA{X=n+1}\cap\BRA{Y=n}} }
  { \dP\PAR{\BRA{X=n} \cap \BRA{Y=n}}} \,.
$$   
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Donner la densité, la fonction de répartition, l'espérance et la variance
  d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi uniforme sur $[a,b]$. M\^emes
  questions pour~$X^2$ en supposant $a>0$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
Le temps $T$ qui sépare le passage de deux bateaux au large des récifs
vers lesquels les naufrageurs guident leurs proies suit une loi
exponentielle de paramètre~$\lambda$.
On note $T_n$ la variable aléatoire égale au temps qu'il faut attendre
pour $n$ bateaux.

\begin{enumerate}
\item
Calculer l'espérance et la variance de $T_n$.

On note $f_n$ la densité de probabilité de $T_n$, et $F_n$ sa fonction
de répartition.

\item
Montrer que
$$
f_{n+1}(t)=\lambda\int_0^t \! f_n(u)e^{-\lambda(t-u)}\, du.
$$
En déduire que
$$
f_n(t)=\lambda^n\frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda t}.
$$

\item
 Trouver une relation de récurrence entre $F_{n+1}$ et $F_n$. 
En déduire $F_n$.

L'instant $\tau$ étant fixé, on note $X$ la variable aléatoire discrète
égale au nombre de navires qui se sont déjà présentés à l'instant
$\tau$.

\item
Montrer que
\begin{align*}
\dP(\{X=n\}) & = F_n(\tau)-F_{n+1}(\tau) \qquad (n>0)\\
\dP(\{X=0\}) &= 1-F_1(\tau).
\end{align*}
 
\item
 Déterminer la loi de probabilité de $X$.
 
\emph{Rappel :} la densité de probabilité $h$ de la somme de deux variables
aléatoires indépendantes dont les densités $f$ et $g$ sont nulles pour $x\leq
0$, est définie par
  $$
  h(t)=\int_0^t\!f(t-x)g(x)\, dx.
  $$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\end{document}