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\newcommand{\va}{variable aléatoire $\,$}
\newcommand{\vas}{variables aléatoires $\,$}

%---- Structure Exercice -----
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\bfseries\sffamily}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

% Lieu - annee
\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
% Lieu - Module
{Toulouse III \hfill \textbf{UE8 - Probabilité, feuille n\degre 3}\\}
% Titre
%\hrule
%\begin{center} {\Large \textbf{Anneaux et corps} \end{center}
%\hrule
%\vspace*{1cm}

%------------------------------------------------------
% Debut des exercices
%%% 



\begin{exercice}
Figaro a deux coiffeuses : Rose et Marie. Le nombre de clientes de Rose et le
nombre de clientes de Marie sont indépendants et suivent une loi de Poisson
de moyennes respectives $\la$ et $\mu$ .
\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre moyen de clientes au total.

\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire égale au nombre
 total de clientes.

\item Sachant qu'il y a $n$ clientes, calculer la probabilité pour que Rose 
en ait $k$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Chez les rois fainéants, les mariages consanguins ont développé un risque de stérilité. A partir de Clothaire 3 ( noté $0$ ), on note $X$ le nombre de 
générations précédant l'extinction de la dynastie par stérilité.
 La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ vérifie la propriété
suivante, si on note $p_n=\dP(X=n)$ :

$$ 3 p_{n+2}=4 p_{n+1} -p_n $$

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de $X$.
%\item Montrer que la variable aléatoire $Y=X+1$ suit une loi de Pascal.
%\item Calculer l'espérance et la variance de $X$.
\item Montrer que la fonction génératrice de $X$ satisfait une équation fonctionnelle et en déduire l'espérance et la variance de $X$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soient $X$ et $Y$ deux \vas  indépendantes de m\^eme loi sur $\{0,1,2\}$, définie
par :
$$ \dP (X=0) = \frac{1}{2} , \quad  \dP (X=1)=\dP (X=2)=\frac{1}{4} $$

Soit enfin $U=X+Y$ et $V=|X-Y|$.
\begin{enumerate}
\item Quelles sont les lois de $U$ et $V$ ?
\item  Quelle est la loi du couple $(U,V)$ ? Ces \vas  sont-elles indépendantes?
\item Calculer l'espérance et la variance de $U$ et $V$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $X$ une \va de carré intégrable. Montrer que 
$$Var(X)=\inf_{c\in \dR} \dE \left[ (X-c)^2 \right]$$
et que cette borne inférieure est attaiente pour $c=\dE [X]$.
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $(X,Y)$ un couple de \vas dont la loi est la loi
uniforme sur l'ensemble $\left\{ (1,0), (0,1) ,(-1,0) , (0,-1) \right\}$.
Déterminer les lois marginales de ce couple.
Les \vas $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
\end{exercice}

\begin{exercice}
On jette répétitivement une m\^eme pièce de monnaie, la probabilité de tomber sur pile étant $p$.
Etant donné un entier $n \geq 1$, on considère la fonction aléatoire $T_n$ ,
nombre de jets nécessaires pour obtenir $n$ piles à la suite.
Calculer la fonction génératrice de $T_n$.
En déduire l'espérance de $T_n$. Montrer que $T_1$ suit une loi classique.
En est-il de m\^eme de $T_n$ ? 
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires entières, indépendantes, avec pour deux constantes $0<p<1$, $0<a<1$ :
\begin{eqnarray*}
\dP (X=1) &=1-\dP (X=0)=p \\
\dP (Y=k) &=(1-a)a^k  \quad (k \in \dN ) \\
%\dP (Z=k) &=e^{-\la} \frac{\la ^k}{k!} \quad  (k \in \dN )
\end{eqnarray*}
Soit $U$ la \va égale à $0$ si $X=0$ , égale à $Y$ si $X=1$.
\begin{enumerate}
\item
Calculer la fonction génératrice de $U$. Déterminer la loi de $U$, calculer
son espérance et sa variance.
\item
Calculer $\dP (X=0 | U=0)$ et $\dP (X=1 | U=0)$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\begin{exercice}
Soit $X$ une \va entière de fonction génératrice $G$ et soit pour tout entier $n$  : $a_n=\dP (X>n)$.
Montrer que la série entière $T(s)=\sum_{n \geq 0} a_n s^n$ est convergente
pour $|s|<1$ et vaut :
$$T(s)=\frac{1-G(s)}{1-s}$$
En déduire que si $X$ est de carré intégrable, alors $\dE [X] =T(1)$ et 
$Var(X)=2T'(1)+T(1)-T(1)^2$.
Vérifier vos résultats dans le cas o\`u $X$ suit une loi géométrique de 
paramètre $0<p<1$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
On choisit au hasard deux nombres distincts parmi les entiers compris entre $1$ et $n$ (avec $n \geq 3$). On note $R_1$ le premier nombre choisi, $R_2$ 
le second, $X$ le plus grand des deux nombres, $Y$ le plus petit des deux. 
\begin{enumerate}
\item
Construire un modèle probabiliste de cette expérience aléatoire.
\item
Déterminer les lois des couples $(R_1,R_2)$ et $(R_2,R_1)$.
\item
En déduire que les \va $R_1$ et $R_2$ ont m\^eme loi et la calculer.
\item
Déterminer la loi de $X$.
\item
Déterminer la loi de $(X,Y)$.
\item
Déterminer la loi de $Y$ , sachant $X=x$.
\end{enumerate}
\end{exercice}


\end{document}