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%---- Structure Exercice -----
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\bfseries\sffamily}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

% Lieu - annee
\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
% Lieu - Module
{Toulouse III \hfill \textbf{UE8 - Probabilité, feuille n\degre 2 bis}\\}
% Titre
%\hrule
%\begin{center} {\Large \textbf{Anneaux et corps} \end{center}
%\hrule
%\vspace*{1cm}

%------------------------------------------------------
% Debut des exercices

\begin{exercice}
Deux usines (I et II) fabriquent des trotinettes. Le taux de fabriquation
d'objets défectueux est de $20\%$ pour l'usine I et de $5\%$ pour l'usine
II. L'usine I fabrique deux fois plus de trotinettes que l'usine II. 
\begin{enumerate}
\item
Quelle est la probabilité d'acheter une trotinette cassée ?
\item
Quelle est la probabilité qu'une trotinette provienne de l'usine I sachant
qu'elle est cassée ?   
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
On a volé la Joconde. Deux ans plus tard, en perquisitionnant chez un
collectionneur, la police retrouve Mona Lisa. Un doute plane sur
l'authenticité de la toile retrouvée. On estime à $80\%$ la probabilité pour
que ce soit celle que Léonard a peinte. On consulte alors deux expert en
peinture de la Renaissance. Le premier, qui se trompe une fois sur cinq,
déclare que le tableau est authentique. Le deuxième, qui se trompe deux fois
sur onze, annonce que c'est une copie. Les conclusions des experts sont
indépendantes. Calculer la probabilité d'avoir retrouvé la Joconde
authentique.    
\end{exercice}

\begin{exercice}
On note $\ds{S_n^p = \sum_{k=1}^n k^p}$. Calculer par recurrence $S_n^1$,
  $S_n^2$ et $S_n^3$. 

Indication : on pourra sommer les relations 
$$
(k+1)^p = \sum_{i=0}^p C_p^i k^i \,.
$$   
\end{exercice}

\begin{exercice}
 Calculer les sommes suivantes en précisant pour valeurs de $x$ elles sont
 valables : 
$$
f(x) = \sum_{k=0}^\infty x^k \,,\quad 
g(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\,.
$$
En déduire pour tout $p \in ]0,1[$ et tout $\la>0$, 
$$
\sum_{k=1}^\infty k p^k \,,\quad \sum_{k=1}^\infty k^2 p^k \,,\quad 
\sum_{k=0}^\infty s^k p^k \,,\quad 
\sum_{k=1}^\infty k\frac{\la^k}{k!}\,,\quad
\sum_{k=1}^\infty k^2\frac{\la^k}{k!}\,,
\quad \sum_{k=0}^\infty s^k\frac{\la^k}{k!}\,.
$$
\end{exercice}


\pagebreak
\setcounter{exercice}{0}

% Lieu - annee
\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
% Lieu - Module
{Toulouse III \hfill \textbf{UE8 - Probabilité, Devoir maison}\\}
% Titre


%------------------------------------------------------
% Debut des exercices

\begin{exercice}
Est-il plus fréquent d'obtenir un $6$ en lançant quatre fois un dé que
d'obtenir une paire de $6$ en lançant $24$ fois deux dés ? 

Proposer un modèle probabiliste pour chaque expérience. 
\end{exercice}

\begin{exercice}
  On note $S_n^p$ le nombre d'applications surjectives d'un ensemble de $n$
  éléments dans un ensemble de $p$ éléments ($p\leq n$). 
\begin{enumerate}
\item
Déterminer $S_n^1$ et $S_n^2$. 
\item
  Calculer le nombre d'applications d'un ensemble à $n$ éléments dans un
  ensemble à $p$ éléments. 
\item 
En regroupant les applications dont les images ont m\^eme cardinal, montrer que
$\ds{\sum_{k=1}^p C_p^kS_n^k = p^n}$. 
\item
Au pays de Lilliput, il y a trois types de comportement devant les \oe ufs.
Une personne sur trois les mange durs alors que deux sur trois les mangent à
la coque. Parmi les amateurs d'\oe ufs à la coque, il y a autant de
grosboutistes qui les mangent par le gros bout, que de
petitboutistes qui les mangent par le petit bout. Considérons un échantillon
de $n$ personnes, prisent indépendamment et avec remise. Calculer la taille
minimum de l'échantillon pour qu'il contienne au moins une personne de chaque
type avec une probabilité supérieure à $0,95$.
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Le $14$ juillet, à Saint Troupaize, il fait beau sept fois sur dix. Le
  comité des f\^etes dispose de deux sources de prévisions météorologiques
  indépendantes :
\begin{itemize} 
\item
la météo nationale, qui se trompe un fois sur cinquante,
\item
une grenouille verte, qui se trompe une fois sur vingt. 
\end{itemize}
La météo annonce de la pluie alors que le comportement de la grenouille laisse
prévoir du beau temps. Déterminer le temps le plus probable. 

Indication : on pourra considérer la Joconde.
\end{exercice}


\end{document}