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%---- Structure Exercice -----
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\bfseries\sffamily}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

% Lieu - annee
\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
% Lieu - Module
{Toulouse III \hfill \textbf{UE8 - Probabilité, feuille n\degre 2}\\}
% Titre
%\hrule
%\begin{center} {\Large \textbf{Anneaux et corps} \end{center}
%\hrule
%\vspace*{1cm}

%------------------------------------------------------
% Debut des exercices

\begin{exercice}
Montrer que lorsque l'on tire une carte au hasard dans un jeu de $52$ cartes,
la couleur et la valeur sont indépendantes.
\end{exercice}

\begin{exercice}
La duchesse d'Aquitaine et la duchesse de Bourgogne attendent chacune
l'héritier de leur duché. 
\begin{enumerate}
\item
Calculer la probabilité de pouvoir faire une alliance en mariant les
deux enfants attendus.
\item
Montrer que les événements suivants sont deux à deux indépendants mais
ne sont pas mutuellement indépendants : 
\begin{itemize}
\item
 << l'héritier d'Aquitaine est un garçon >>
\item
 << l'héritier de Bourgogne est un garçon >>
\item
 << les deux héritiers sont de même sexe >>.
\end{itemize}
\end{enumerate} 
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Grand-papa a trois bérets et une casquette. Quand il va acheter le pain, il
  saisit un couvre-chef au hasard. Sachant qu'il achète une fois sur trois une
  baguette moulée et que deux fois sur cinq, il oublie de chausser ses
  souliers, calculer la probabilité qu'il remonte en charentaises, un béret
  sur la tête et une baguette non moulée sous le bras.  
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Vincent, François et Paul sont trois chasseurs à adresse variable. Vincent
  fait mouche sept fois sur dix, François une fois sur deux et Paul une fois
  sur dix. Les trois chasseurs tirent simultanément sur le m\^eme lapin. 
\begin{enumerate}
\item 
Construire un modèle probabiliste pour cette expérience aléatoire, en
précisant la dépendance des événements. 
\item
Calculer les probabilités que le lapin soit touché, que seul Paul ait touché
le lapin, que le lapin soit touché sachant que Paul l'a raté.
\end{enumerate}  
\end{exercice}

\begin{exercice}
  En Belgique, on mange deux types de frites : les frites
  traditionnelles à section rectangulaire et les frites new-look à
  section hexagonale. Parmi les frites que consomment les Flamands,
  il y a $65\%$ de frites traditionnelles alors que les Wallons en
  mangent $75\%$. L'équipe de Belgique de football (les fameux <<~Diables
  rouges~>>) est composée de sept Flamands et quatre Wallons. Un
  joueur est surpris à la mi-temps avec un cornet de frites
  hexagonales. Calculer la probabilité pour qu'il soit flamand.  
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Monsieur le curé fait sa visite au château, comme chaque mercredi,
  après les Vêpres. Sa 2CV est équipée d'essuie-glace dont le moteur
  tombe en panne un voyage sur dix. La commande manuelle fonctionne
  une fois sur trois. A cette époque de l'année, il pleut trois fois
  sur quatre. 
\begin{enumerate}
\item
Calculer la probabilité pour que la baronne le voit arriver dans la
cour du manoir en actionnant ses essuie-glace d'une main et tenant son
volant de l'autre. 
\item
Sachant qu'il pleut, calculer la probabilité pour qu'il soit obligé de
terminer son chemin à pied, sous son parapluie. 
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Aux États-Unis, les travailleurs pouvaient se délasser le soir en
regardant le jeu suivant. Le candidat, qui est face à trois portes
derrière lesquelles sont cachés deux sucettes et un chèque
énorme, désigne sans qu'elle soit ouverte une des trois
portes. Puis l'animateur dévoile une sucette en ouvrant une des deux autres  
portes. Le candidat a alors la possibilité d'ouvrir la porte qu'il
avait sélectionnée ou de choisir l'autre. Quelle stratégie est la plus
payante ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $X$ une variable aléatoire discrète ne pouvant prendre que les
valeurs $3$, $4$, $5$ et $6$. Déterminer la loi de $X$ sachant que : 
$$
\dP (X<5) = \frac{1}{6}\,,\quad \dP(X>5) =\frac{1}{2} \,,
\dP(X\leq 3) = \dP(X=4) \,.
$$   
Calculer son espérance $\dE(X)$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
L'arracheur de dents arrache les dents de ses patients au hasard. Les clients
ont une dent malade parmi les trente deux qu'ils possèdent avant
l'intervention des tenailles du praticien. On considère les dix premiers
clients, en notant $X$ le nombre de dents malades extraites à bon escient. 
\begin{enumerate}
\item
Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$. Calculer la probabilité pour
qu'aucun de ces patients n'y laisse la dent malade. 
\item
Combien doit-on traiter de personnes pour extraire au moins une dent malade
avec une probabilité supérieure à $0,6$ ?
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Panurge est sur un bateau qui transporte $n+1$ moutons appartenant à un
  marchand de Taillebourg, nommé Dindenault. Deux des moutons sont noirs.
  Panurge choisit un beau gros mouton blanc, l'achète et le jette en pleine
  mer. Tous les autres moutons le suivent à la file, jusqu'au dernier.

On note $X$ le rang (derrière le mouton de Panurge), du premier mouton
noir à sauter à la mer. Établir la loi de probabilité de $X$,
calculer son espérance $\dE(X)$.

On note $Y$ le rang du deuxième mouton noir à se précipiter par dessus
bord. Donner la loi de $Y$, calculer $\dE(X)$.    
\end{exercice}

\begin{exercice}
Soit $X$  une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de
paramètre $\la>0$. On considère les deux événements $E=$<<~$X$ est
paire~>> et $F=$<<~$X$ est impaire~>>. Montrer que 
$$
\dP(E)>\dP(F)\,.
$$  
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Soit $a$ un nombre réel et $X$ une variable aléatoire réelle à
  valeurs dans $\dN^*$ telle que 
$$
\dP(X=k) = \frac{a}{k(k+1)(k+2)} \quad \text{pour tout } k\in \dN^*\,.
$$
Déterminer $a$, puis calculer $\dE(X)$. 
\end{exercice}

\begin{exercice}
 Pierre est distrait : quand il s'arrête pour prendre de l'essence, il
 repart sans sa passagère, descendue pour aller payer, avec une
 probabilité $p$. Soit $X$ la variable aléatoire égale au nombre
 d'étapes que Pierre parcourt avec sa passagère. 
\begin{enumerate}
\item
Établir la loi de probabilité de $X$. Calculer l'espérance et la
variance de $X$.
\item
Déterminer la fonction de répartition de $X$.
\item
Si $p=1/5$, quel est le nombre maximum d'étapes que peut comporter le voyage pour
que la passagère arrive à destination dans la voiture de Pierre avec
une probabilité supérieure à $0,6$ ?
\end{enumerate}

Si Pierre est accompagné de deux amies, et que $Y$ désigne le nombre
d'étapes que Pierre parcourt accompagné, établir la loi de $Y$, son
espérance et sa variance. 
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Les chasseurs tuent en moyenne cinq vaches par an. Le nombre de ces vaches
  prises pour des lapins suit une loi de Poisson. Calculer la probabilité pour
  qu'il ne dépasse pas sept. Quelle est la probabilité d'avoir une année sans
  victime (bovine) ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Le nombre de blessés à l'\oe il par un bouchon de champagne arrivant aux
  urgences ophtalmologiques de Rangueil la nuit de la Saint Sylvestre suit une
  loi de Poisson de moyenne six. Sachant que les victimes potentielles sont
  réparties équitablement entre les deux sexes, on note $X$ le nombre de
  femmes qui figurent parmi ces éborgnés du Jour de l'An et $Y$ le nombre
  d'hommes. 
\begin{enumerate}
\item
Établir les lois de probabilité de $X$ et $Y$, préciser leurs espérances et
leurs variances. 
\item
Montrer que $X$ et $Y$ sont indépendantes. 
\item
Calculer la probabilité pour qu'il y ait autant d'hommes que de femmes admis
aux urgences. 
\end{enumerate}
\emph{(On suppose que l'interne de garde, ne fait pas partie des victimes.)}  
\end{exercice}

\end{document}