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\newtheorem{exercice}{Exercice}
\newtheorem{probleme}{Problème}

\newcommand{\pts}[1]{\textbf{[#1]}}

\pagestyle{empty}

\begin{document}

\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
{Albi et Toulouse III \hfill \textbf{-- Seconde année - Probabilité}\\}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
\bigskip
{\large Examen de juin 2001}
\bigskip
\end{center}
 
Bonjour à tous. Vous disposez de deux heures, aucun document n'est
autorisé. Le problème et l'exercice sont (mutuellement) indépendants.  Un
effort de clarté et d'argumentation sera apprécié.

Bon courage !

\medskip

\begin{probleme}
  Les questions du problème qui suit ne sont pas indépendantes, mais il n'est
  pas nécessaire de connaître les réponses à une question pour traiter les
  suivantes (sauf la dernière).  Dans tout le problème, si $X$ est une v.a.
  absolument continue (à densité), $f_X$ désigne la densité de la loi de $X$,
  et $F_X$ désigne sa fonction de répartition $F_{X}(x)= \dP(X\leq x)$.
  
  On considère deux ampoules électriques d'un modèle identique dont les durées
  de vie sont modélisées par les variables aléatoires $T_1$ et $T_2$ supposées
  indépendantes et de même loi. Cette loi est la loi exponentielle de
  paramètre $\lambda>0$ dont on rappelle la densité :
$$ f(t)= \left\{\begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda t} & \mbox{ si } t>0
\\ 0&\mbox{ sinon. }\end{array}\right.$$

\begin{enumerate}
\item Calculez la moyenne, la variance  et la fonction de répartition
$F(t)$ de la variable aléatoire $T_1$.
\item On suppose que l'on allume les deux ampoules simultanément. Soit
$Z= \max(T_1,T_2)$ la v.a. donnant le temps pendant lequel une au moins des
deux ampoules reste allumée.
   \begin{enumerate}
   \item Exprimez la probabilité $\dP(Z\leq t)$ en fonction de $F(t)$. En
déduire que la densité $f_Z$ de la loi de $Z$ est égale à : 
$$
 f_Z(t)= \left\{\begin{array}{ll} 2 \lambda e^{-\lambda t} (1-e^{-\lambda t})
  & \mbox{ si } t>0
\\ 0&\mbox{ sinon. }\end{array}\right.$$
   \item Calculez alors la moyenne de $Z$.
   \end{enumerate}
 \item On suppose à présent que l'on allume successivement les ampoules : dès
   que la première ampoule s'éteint, un commutateur allume la seconde.
   \begin{enumerate}
   \item On suppose que le commutateur est parfait. Le temps d'éclairage est
     donc modélisé par la v.a. $U= T_1+T_2$. Donnez la moyenne et la variance
     de $U$.
   \item En réalité le commutateur n'a qu'une probabilité $p$ de fonctionner
     i.e.  lorsque la première ampoule s'éteint, la seconde ne s'allume
     qu'avec la probabilité $p$. On note $H$ l'événement «le commutateur
     fonctionne», qu'on suppose indépendant des variables $T_{1}$ et $T_{2}$.
     Soit $V$ la v.a. égale au temps d'éclairage.
  
     Ecrivez la variable $V$ en fonction de $T_{1}$, $T_{2}$ et de
     l'indicatrice de $H$.
  
     Donnez l'espérance de $V$ en fonction de $\lambda $ et $p$.
  
     Donnez l'expression de la fonction de répartition $F_V$ en fonction de
     $F$, $F_U$ et $p$.
  
     Exprimez alors la densité $f_V$ en fonction de $f$, $f_U$ et $p$.
     
   \item En comparant le temps d'éclairage moyen, pour quelles valeurs de $p$,
     l'allumage simultané est-il meilleur que l'allumage successif ?
   \end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{probleme}

\begin{exercice}
  Les questions $3$ et $4$ sont indépendantes des questions $1$ et $2$.
  
  On considère un loft contenant de jeunes hommes et de jeunes femmes. La
  proportion d'hommes est égale à $p$ (et celle des femmes vaut $1-p$). Tous
  les jours, on «confesse» un des habitants au hasard. On obtient ainsi une
  suite de $H$ et de $F$ où $H$ représente la confession d'un homme et $F$
  celle d'une femme. On définit alors les deux variables aléatoires $X$ et $Y$
  de la manière suivante : pour tout $i,j$ dans $\dN^*$,
$$ X=i \quad \text{et} \quad Y=j $$ 
si et seulement si les $i+j+1$ premières confessions sont, dans l'ordre,
$$
 \underbrace{H\ldots H}_{i fois}  \underbrace{F\ldots F}_{j fois} H
\quad \text{ou} \quad 
 \underbrace{F\ldots F}_{i fois} \underbrace{H \ldots H}_{j fois} F\,.
$$  
\begin{enumerate}
\item Déterminez la loi de $X$. 
\item Calculez l'espérance de $X$.
\item Montrez que la loi du couple $(X,Y)$ est donnée par :
$$
 \dP(X=i,Y=j)= p^{i+1}(1-p)^j + (1-p)^{i+1}p^j 
 \quad \text{pour } i,j \in \dN^{*}.
$$
\item En déduire la loi de $Y$.
\item Montrez que si $p=1/2$, les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont
  indépendantes. Est-ce encore le cas si $p$ est différent de $1/2$ ?
B
\end{enumerate}
\emph{On supposera que le loft ne contient pas de piscine !} 

\end{exercice}

\begin{center}
  ----- Fin -----
\end{center}

\end{document}