\documentclass[a4paper,12pt,final,oneside]{article} \usepackage{amsmath,amsfonts} \usepackage{theorem} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[a4paper,landscape]{geometry} \usepackage{fancybox} %\usepackage{multicol} \usepackage{french} \usepackage{vmargin} \setpapersize[portrait]{A4} %% Réglages des marges via le paquetage vmargin \setmarginsrb{1.5cm}{1.5cm}{1.5cm}{1.5cm}{1cm}{1cm}{1cm}{1cm} %% {marge gauche}{marge haute}{marge droite}{marge basse} %% {entête}{distance entête-texte}{pied de page}{bas de page - bas du pied de page} \theoremstyle{break} \theorembodyfont{\rmfamily} \newtheorem{exo}{Exercice} \begin{document} \begin{center}\shadowbox{\begin{large} MIA3 second semestre 98/99 -- Série numéro 4 -- Séries entières et de Fourier \end{large}} \end{center} \begin{center} \textbf{Cette série d'exercices est prévue pour 2 semaines de TD.} \end{center} %\raggedcolumns %\columnseprule .4pt %\begin{multicols}{2} \section{Séries entières} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières \[ \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{(2n+1)!}x^n \text{\quad et \quad} \sum_{n=0}^\infty \mathrm{ch}(na)x^n \text{ pour } a>0. \] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} Déterminer le développement en série entière en $0$ de $f(x)$ en précisant le rayon de convergence dans les cas suivant : \noindent a) $\displaystyle{f(x)=\mathrm{Argsh}(x).}$ \noindent b) $\displaystyle{f(x)=\frac{5}{x^4-13x^2+36}.}$ \noindent c) $\displaystyle{f(x)=\log (1+x-2x^2).}$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} \label{ex} \noindent 1) Développer en série entière au voisinage de $0$ la fonction $x\rightarrow \frac{1}{1+x^2}$. \noindent 2) En déduire le développement en série entière de la fonction $x\rightarrow \mathrm{Arctg}(x)$ en précisant le rayon de convergence. \noindent 3) En utilisant le théorème des séries alternées, montrez que cette série converge uniformément sur $[-1,1]$ et en déduire, en le justifiant, la valeur de la série $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} Déterminer les solutions analytiques de l'équation différentielle \[ xy''+2y' = -\frac{2x^3}{(1+x^2)^2}. \] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} Soit $r$ un entier naturel fixé. Calculer le rayon de convergence et la somme de la série entière $\displaystyle{\sum_{n\geq0}C_{n+r}^n x^n}$. (Écrire $C_{n+r}^n$ sous la forme $\displaystyle{\frac{(n+r)\cdots(n+1)}{r!}}$ et penser à la dérivation des séries entières). %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\exo{} % %Le but de cet exercice est de développer en série entière la fonction %\[ % f(x)=e^{-x^2/2} \int_0^x\!\! e^{t^2/2} dt. %\] % %\noindent 1) %En remarquant que $e^{x^2/2}f(x) = \int_0^x\!\! e^{t^2/2} dt$, écrire une %équation différentielle simple vérifiée par $f$. % %\noindent 2) %Supposons dans cette question que $f$ est développable en série entière en %$0$. Il existe donc une série entière $\sum_{n\geq0} a_nx^n$ de rayon de %convergence $R>0$ telle que pour tout $x$ dans $]-R,R[$ on %ait %\[ %f(x) = \sum_{n\geq0} a_nx^n. %\] %Calculer $a_0$ puis donner une relation de récurrence sur les coefficients %$a_n$. En déduire la valeur des $a_n$. % %\noindent 3) %Montrer que la série entière %\[ %\sum_{n\geq0} (-1)^n \frac{2^nn!}{(2n+1)!}x^{2n+1} %\] %a un rayon de convergence infini et développer $f$ en série entière. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Séries de Fourier} \exo{} Montrer que si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique continue par morceaux, alors pour tout réels $a$ et $b$ \[ \int_a^{a+2\pi}\!\! f(t)dt = \int_b^{b+2\pi}\!\! f(t)dt. \] En particulier, les coefficents de Fourier peuvent être calculés sur tout intervalle de longueur $2\pi$ : \[ c_n(f)=\int_{x}^{x+2\pi}\!\! f(t)e^{-int}dt = \int_0^{2\pi}\!\! f(t)e^{-int}dt. \] %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} Calculer les coefficients de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-périodique donnée sur $[-\pi,\pi[$ par $f(x)=x$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} Développer en série de Fourier la fonction de période $2\pi$ définie sur $[-\pi,\pi[$ par \[ f(x)= \left\{ \begin{array}{lrcl} \pi-x \text{\quad si \quad} &0\leq&x& < \pi \\ \pi+x \text{\quad si \quad} &-\pi\leq&x& \leq 0 \end{array} \right. \] et en déduire la convergence et la somme de la série $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} Calculer et étudier la convergence de la série de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-périodique donnée sur $[0,2\pi]$ par $f(x)=x(\pi-x)$. En déduire la somme de la série alternée $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\exo{} % %Montrer que la fonction impaire $2\pi$-périodique définie sur $[0,\pi]$ par %$f(x)=x(\pi-x)$ est développable en série de Fourier. En déduire la somme de %la série $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty} \frac{1}{(2n+1)^6}$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\exo{} % %soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie sur $[0,2\pi[$ par %$f(x)=(\pi-x)^2$. % %\noindent 1) %Étudiez la convergence de la série de Fourier de $f$. % %\noindent 2) %Calculer les coefficients de Fourier $a_n(f)$ et $b_n(f)$. % %\noindent 3) %Étudier la convergence absolue de la série de Fourier de $f$. % %\noindent 4) %Calculer %$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{1}{n^2}$ et %$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{1}{n^4}$. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \exo{} Soit $\alpha$ un réel tel que $0<\alpha<\pi$ et $f_\alpha$ la fonction $2\pi$-périodique définie sur $[0,2\pi]$ par \[ f(x)=\left\{ \begin{array}{cl} 1 &\text{\quad si \quad} \pi-\alpha \leq x \leq \pi+\alpha\\ 0 &\text{\quad sinon}. \end{array} \right. \] \noindent 1) Faire la représentation graphique de $f_{\pi/2}$ sur $[-2\pi,2\pi]$. \noindent 2) Calculer la série de Fourier associée à $f_\alpha$ et énoncer un résultat de convergence. \noindent 3) En déduire la valeur de la série $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{\sin n\alpha}{n}$. \noindent 4) Retrouver en particulier la valeur de la série de l'exercice \ref{ex}. %\end{multicols} \end{document}