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%---- Structure Exercice -----
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\bfseries\sffamily}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

% Lieu - annee
\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
% Lieu - Module
{Toulouse III \hfill \textbf{UE8 - Probabilités}\\}
% Titre
%\hrule
%\begin{center} {\Large \textbf{Anneaux et corps} \end{center}
%\hrule
%\vspace*{1cm}
\bigskip
\begin{center}
{\textbf{Corrigé du devoir n \degre 1}}
\end{center}
\bigskip

\begin{exercice}
Définissons le modèle probabiliste de la première expérience : 
$$
\Omega = \BRA{ (i,j,k,l) \in \BRA{1,\ldots,6}^4} 
$$
et, pour tous $i,j,k,l$, 
$$
\dP\PAR{ \BRA{(i,j,k,l)} } =\frac{1}{6^4}\,.
$$
Il y a $5^4$ résultats qui ne donnent aucun $6$. La probabilité d'avoir au
moins un $6$ est donc égale à $1-(5/6)^4$, dont une valeur approchée (à $0,05$
près) est $0,52$.

Pour la deuxième expérience, on peut choisir le modèle suivant :
$$
\Omega = \BRA{ \PAR{i_1,j_1,\ldots,i_{24},j_{24}} 
\in \PAR{\BRA{1,\ldots,6}\times\BRA{1,\ldots,6}}^{24}} 
$$
et, pour tous $i_1,j_1,\ldots,i_{24},j_{24}$, 
$$
\dP\PAR{ \BRA{\PAR{i_1,j_1,\ldots,i_{24},j_{24}}} } =\frac{1}{36^{24}}\,.
$$
Il y a $35^{24}$ résultats qui ne font pas appara\^itre de double six. La
probabilité d'avoir au moins un double six est donc égale à $1-(35/36)^{24}$
dont une valeur approchée (à $0,05$ près) est $0,49$.

Le succès est plus fréquent dans la première expérience que dans la
deuxième.
\end{exercice}

\begin{exercice}
\begin{enumerate}
\item 
Il n'y a qu'une application d'un ensemble dans un ensemble à un point donc
$S^1_n$ est égal à $1$.

Il y a $2^n$ applications d'un ensemble à $n$ éléments dans un ensemble à deux
points. Parmi celles-ci, deux seulement ne sont pas surjectives : celles qui
envoient tous les éléments de l'ensemble de départ sur un des deux éléments de
l'ensemble d'arrivée. Donc $S^2_n$ est égal à $2^n-2$.
\item
Chaque élément de l'ensemble de départ à $p$ images possibles donc le nombre
d'applications est $p^n$.
\item
Regroupons les applications en fonction du cardinal $k$ de leur image : nous
obtenons alors toutes les surjections d'un ensemble à $n$ éléments dans un
ensemble à $p$ éléments. Il y a $C_n^k$ choix possibles pour l'ensemble-image.
Enfin toutes les applications ont été prises en compte une et une seule fois.
Nous avons donc :  
$$
 \sum_{k=1}^p C_p^kS_n^k = p^n\,.
$$
\item L'expérience se modélise en considérant pour $\Om$ l'ensemble des
  applications d'un ensemble à $n$ éléments dans un ensemble à trois éléments
  que l'on munit de la probabilité uniforme. Toutes les catégories sont
  représentées lorsque l'échantillon réalise une surjection d'un ensemble à
  $n$ éléments sur un ensemble à $3$ éléments. D'après ce qui précède,
$$
 S^3_n = 3^n- 3S^2_n -3S^1_n = 3^n -3\times 2^n +3\,.
$$
La probabilité cherchée est donc égale à $(3^n -3\times 2^n +3)/3^n$. Il faut
alors résoudre 
$$
\frac{3^n -3\times 2^n +3}{3^n} >0,95\,.
$$
La machine donne $n=11$ pour valeur minimale. 
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
Définissons les événements suivants : 
\begin{eqnarray*}
A &=& \BRA{ \text{il fait beau} }\\
B &=& \BRA{ \text{la météo annonce la pluie et la grenouille le beau temps}}\\
C &=& \BRA{ \text{la météo a raison}}\\
D &=& \BRA{ \text{la grenouille a raison}}
\end{eqnarray*}

On sait que 
$$
\dP(A) = \frac{7}{10}\,,  \quad \dP(A^c) = \frac{3}{10} \,, \quad 
\dP(C) = \frac{49}{50}\,, \quad \dP(D) = \frac{19}{20}\,.
$$
On cherche à calculer $\dP(A|B)$. La formule de \textsc{Bayes} permet d'écrire~: 
$$
\dP(B|A) = \frac{\dP(B\cap A)}{\dP(A)}\,.
$$
 Par définition des événements, 
$$
B\cap A = C^c\cap D \cap A\,,
$$
donc
$$
\dP(B|A) = \frac{\dP(C^c\cap D\cap A)}{\dP(A)}\,.
$$
Or, le fait que la grenouille et la météo soient dans le vrai ou non et
le temps qu'il fait sont trois événements mutuellement indépendants. Donc
$$
\dP(B|A) = \dP(C^c)\dP(D) \,.
$$
De même, 
$$ 
\dP(B|A^c) = \dP(C)\dP(D^c)\,.
$$
Appliquons à nouveau la formule de \textsc{Bayes} : 
$$
\dP(A|B)=\frac{ \dP(A\cap B)}{\dP(B)} 
= \frac{\dP(B|A)\dP(A)}{\dP(B|A)\dP(A)+ \dP(B|A^c)\dP(A^c)}\,.
$$
L'application numérique donne environ $0,48$ (à $0,005$ près).  Le temps le
plus probable est donc la pluie avec une probabilité voisine de $0,52$.
\end{exercice}
\end{document}