\input{pre.tex}
\pagestyle{empty}
\begin{center}{ \large \bf Feuille \num 6 }\end{center}
MIA 03  \hfill  1999
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\noindent{\large\bf Exercice 1.}
\vspace{0.3cm}

\noindent  Une urne contient des boules de $m$ couleurs. La proportion des
boules de couleur $i$ est $p_i$. On effectue $n$ tirages, et à chaque fois
on remet la boule tirée dans l'urne.\\
{\bf (a)} Quelle est la probabilité de tirer dans l'ordre: $k_1$ boules
de la première couleur, puis $k_2$ boules de la deuxième, etc.., puis
$k_m$ boules de la m$^e$ couleur? Ici on a bien s\^ur $k_1+\dots +k_m=n$,
le nombre de tirages.\\
{\bf (b)} Quelle est la probabilité de tirer dans le désordre: $k_1$ boules
de la première couleur, $k_2$ boules de la deuxième, etc.., et
$k_m$ boules de la m$^e$ couleur?\\
Cette loi obtenue sur l'ensemble $\{(k_1,\ldots,k_m),\,\, k_i\in\N,\,
k_1+\dots +k_m=n\}$ s'appelle la loi {\bf multinomiale}. Par exemple,
si $n=2$, alors $k_1$ suit la loi binomiale ${\cal B}(n,p)$.


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\noindent{\large\bf Exercice 2.}
\vspace{0.3cm}

\noindent Reprenons le processus de Bernoulli. On dispose d'une pièce de 
monnaie ``truquée'', qui donne pile (P) avec la probabilité $p$, ($p\in]0,1[$)
 et face (F)
avec la probabilité $q=1-p$. On lance la pièce une infinité de fois, 
et on obtient
ainsi une suite de piles et de faces. 
On note $S_n$ le nombre de piles obtenus au cours des $n$ premiers lancers,
et $T_k$ le temps d'attente du $k^e$ pile. On note aussi $X_n=1$ si 
le résultat du n$^e$ lancer est pile, $X_n=0$ sinon.\\
{\bf (a)} Quelle est la probabilité de ne jamais obtenir pile?\\
{\bf (b)} Calculer $S_n$ gr\^ace aux $X_i$, puis calculer les 
espérances et variances des $X_n$, $S_n$, et $T_1$.\\
{\bf (c)} Montrer que $T_1$ et $(T_2-T_1-1)$ sont ind\'ependantes et de m\^eme
loi. En déduire l'espérance et la variance de $T_2$.


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\noindent{\large\bf Exercice 3.}
\vspace{0.3cm}

\noindent Soit $X$ une v.a. de loi de Poisson de paramètre $\la$, 
(c'est à dire que $\P\{ X=n\}=e^{-\la}\la^n /n!$ pour tout $n\in\N$).\\
{\bf (a)} 
Montrer que $\P\{ X\mbox{ est paire}\}\geq\P\{ X\mbox{ est impaire}\}$.\\
{\bf (b)} On définit une v.a. $Y$ par:
\begin{eqnarray*}
Y&=& 0 \mbox{ si $X$ est paire}\\
&=& X/2 \mbox{ si $X$ est impaire}.
\end{eqnarray*} 
Donner la loi de $Y$, ainsi que son espérance.\\
{\bf (c)}  Donner la loi de $X$ sachant que $Y=5$, puis sachant que $Y=0$.

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\noindent{\large\bf Exercice 4.}
\vspace{0.3cm}

\noindent Soit $E$ l'ensemble des 10 points 
$\{ (x,y)\in\N^2; \,\, x+y\leq 3\} $, et 
$(X,Y)$ les coordonnées d'un point choisi au hasard dans $E$.
On pose $U=X+Y$ et $V=|X-Y|$.\\
{\bf (a)} Faire un dessin, et dessiner
les ensembles $\{U=2\}$ et $\{V=1\}$.\\
{\bf (b)} Donner les lois de $X$ et de $Y$.\\
{\bf (c)} Donner la loi conjointe de $(U,V)$, les lois marginales,
et les lois conditionnelles.\\
{\bf (d)} Calculer $\E (U^2)$ et la covariance de  $(X,Y)$.

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\noindent{\large\bf Exercice 5.}
\vspace{0.3cm}

\noindent Soit $(X,Y)$ un couple de v.a. à valeurs dans $\N^2$ tel que pour 
tous $j,k$, 
$$\P\{ X=j,\, Y=k\}\,=\, \frac{(j+k)\la^{j+k}}{e j!k!}\, .$$
\noindent{\bf (a)} Déterminer $\la$ pour qu'on ait bien une loi de 
probabilité.\\
{\bf (b)} Déterminer la loi de $X$, son espérance et sa variance. De m\^eme
pour $Y$.\\
{\bf (c)} Les v.a. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes? On pose $Z=X+Y$.
Calculer sa loi, son espérance et sa variance. \\
{\bf (d)} Calculer la covariance de $X$ et $Y$.

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\noindent{\large\bf Exercice 6.}
\vspace{0.3cm}

\noindent Soit $X$ une v.a. à valeurs dans $\N$. On pose $p_n=\P\{X=n\}$.
On suppose que pour tout $n\in\N$, 
$ 4p_{n+2}=5p_{n+1}-p_n.$
Montrer que la fonction génératrice de $X$ $$
G(t)=\sum_{n\geq 0}p_n t^n$$
v\'erifie une équation fonctionnelle. En déduire les $p_n$, l'espérance
et la variance de $X$.

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\noindent{\large\bf Exercice 7.}
\vspace{0.3cm} 

\noindent Soit $X$ une v.a. de loi exponentielle de paramètre $\theta$
(donc de moyenne $1/\theta$).\\
{\bf (a)} Donner la fonction de répartition puis la
densité de $5X$, et de $X^2$.\\
{\bf (b)} Plus généralement, si $f$ est une fonction croissante, déterminer
la loi de $f(X)$.

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\noindent{\large\bf Exercice 8.}
\vspace{0.3cm} 

\noindent 
Soit $F$ la fonction de répartion d'une v.a. continue $X$. Montrer que 
$F(X)$ est la loi uniforme sur $[0,1]$.

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\noindent{\large\bf Exercice 9 - Ordre statistique.}
\vspace{0.3cm} 

\noindent On prend une suite $X_1,\ldots, X_n$ de n v.a. indépendantes 
toutes de loi uniforme sur [0,1].
On les ré-ordonne dans l'ordre croissant $(X_{(1)},\ldots,X_{(n)})$, c'est 
à dire que $X_{(1)}=\min_{i\leq n} X_i$, etc $\ldots$\\
{\bf (a)} Déterminer la fonction de répartition
 de  $X_{(1)}$. M\^eme question pour  $X_{(n)}$.\\
{\bf (b)} Montrer par récurrence que la densité de 
  $X_{(k)}$, $k\leq n$ est
$$
f_k(x)=\ind_{[0,1]}(x)\;n{\mathrm C}_{n-1}^{k-1}\,x^{k-1}{(1-x)}^{n-k}\, .$$
\noindent {\bf (c)} Donner une interprétation.


\end{document}