\input{pre.tex}
\pagestyle{empty}
\begin{center}{ \large \bf Devoir \num 3 }\end{center}
MIA 03  \hfill \`a rendre le 27 avril 1999
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\noindent{\large\bf Exercice 1.}
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\noindent Soit $a$ un r\'eel non nul, et $f$ la fonction $2\pi$-p\'eriodique
donn\'ee par $$f(x)= e^{ax}\;\;\;\;\;\;  \mbox{ pour } x\in[0,2\pi[.$$ 
\begin{enumerate}
\item[\bf 1.] Tracer le graphe de $f$ sur $[-2\pi,2\pi]$.
\item[\bf 2.] D\'eterminer les coefficients de Fourier de $f$.
\item[\bf 3.] Donner, en la justifiant, la valeur de 
$$\frac{1}{2a} + \sum_{n\geq 1}\frac{a\cos(nx)-n\sin(nx)}{n^2+a^2}$$
pour $x\in [0,2\pi[$.
\item[\bf 4.] En d\'eduire les sommes
$\displaystyle\sum_{n= 1}^{+\infty}\frac{1}{n^2+1}$ et 
$\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n^2+1}.$
\end{enumerate}


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\noindent{\large\bf Exercice 2.}
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\noindent On consid\`ere une famille de quatre enfants. 
Il y a trois possibilit\'es:\\
{\bf (a)} Tous les enfants sont du m\^eme sexe (r\'epartition 4-0).\\
{\bf (b)} 3 enfants sont du m\^eme sexe, et 1 enfant du sexe oppos\'e
(r\'epartition 3-1).\\
{\bf (c)} Il y a 2 filles et 2 gar\c{c}ons (r\'epartition 2-2).\\
Quel est la plus probable? Donner la probabilit\'e de chaque \'ev\'enement.

\end{document}