\input{pre.tex}
\pagestyle{empty}
\begin{center}
{\bf \large Devoir de probabilit\'es,}\\ {\bf MIA 06, d\'ecembre 1997}
\end{center}
\vspace{1cm}

On dispose d'une pi\`ece de monnaie qui donne Pile (P) avec une probabilit\'e
$p$ et Face (F) avec une probabilit\'e $q$ (bien s\^ur, $p+q=1$). 
On lance cette pi\`ece une 
infinit\'e de fois, et on obtient ainsi une suite de piles et de faces. 
Tous les lancers sont ind\'ependants. On note $X_n$ le r\'esultat (P ou F)
du $n^e$ lancer.

On d\'esire voir appara\^\i tre le mot ``PF''. On appelle alors $T$ le temps
d'attente de ce mot. Plus pr\'ecis\'ement, $T=n$ si
on obtient P au $(n-1)^e$ jet, F au $n^e$ jet, et si le mot ``PF'' n'est
pas apparu avant ce $n^e$ jet. On pose aussi $T=+\infty$ si le mot 
``PF'' n'appara\^\i t jamais. En fait,
$$T=\inf\{ k\geq 1;\; X_{k-1}=\mbox{P} \mbox{ et } X_k=\mbox{F}\}.$$

\begin{enumerate}
\item[\bf 1.]
Quelles valeurs peut prendre $T$? A votre avis, si $p$ ou si $q$ vaut 0, 
quelles valeurs prend $T$? 
\item[\bf 2.] 
\begin{enumerate}
\item[\bf a.] Soit $T_1$ le temps d'attente du premier pile: 
$T_1=\inf\{ k\geq 1;\; X_k=\mbox{P}\}.$
D\'eterminer la loi de $T_1$.
\item[\bf b.] 
Soit $T_2= \inf\{k\geq T_1;\; X_k=\mbox{F}\}$ le temps d'attente du 
premier face après $T_1$. Montrer que $T=T_2$.
\item[\bf c.] Montrer que $T_1$ et $T_2-T_1$ sont deux variables al\'eatoires 
ind\'ependantes. Quelle est la loi de $T_2-T_1$?
\item[\bf d.] en d\'eduire la loi de $T$. Si $p\in ]0,1[$, quelle est la
probabilit\'e de ne jamais voir appara\^\i tre notre mot f\'etiche? 
\end{enumerate}
\item[\bf 3.]
Calculer l'\'esp\'erance de $T$. Si $p\ra 0$, quelle est la limite de
$\E T$? Commenter. De la m\^eme fa\c{c}on, que se passe-t-il si
$p\ra 1$? Pour quelle valeur de $p$ le temps d'attente
$T$ est-il minimal, en moyenne? 
\end{enumerate}
\end{document}