\documentclass{pbsheet}

\TITRE{Feuille de TP n°2 -- Initiation à Matlab}
\FORMATION{Épreuve de modélisation - Agrégation Externe de Mathématiques}
\ETABLISSEMENT{Université Paul Sabatier Toulouse III}
\ANNEE{2004}
\MEL{chafai@math.ups-tlse.fr}
\AUTEUR{B. Bercu \& D. Chafaï}
\WEB{http://www.lsp.ups-tlse.fr/Chafai/agregation.html}
\DATE{Novembre 2004}

\begin{document}

Ce second TP porte sur les entrées et sorties, les fonctions et les outils
graphiques dont vous disposez sous Matlab.

\section{Entrées et sorties.}
La commande \texttt{input} permet de demander à l'utilisateur Matlab d'entrer
les valeurs de variables à utiliser. La commande \texttt{pause} permet de
stopper l'exécution Matlab. Vous pouvez préciser le nombre de secondes de pose
ou revenir à Matlab en appuyant sur n'importe quelle touche. La commande
\texttt{save} permet de sauvegarder dans un fichier, dont le nom par défaut
est \texttt{matlab.mat}, le contenu de certaines variables dont vous souhaitez
garder une trace. Ce fichier peut être appelé par la commande \texttt{load}
qui restaure toutes les variables que vous avez sauvegardées.

\begin{lstlisting}[language=Matlab]{Créations et Sauvegardes sous Matlab}
 % Affectez une valeur à n
 n = input('Entrez la valeur de n : ');
 % Affectez une valeur à a
 a=input('Precisez la valeur de a : ');
 % Création de la matrice de Toeplitz A 
 v=a.^[0:n]; A = toeplitz(v); d = det(A);
 % Sauvegarde de n, a, A, d dans restoep.mat
 save restoep n a A d;
 % Efface toutes les variables de la session
 clear
 % Restaure les variables de restoep.mat
 load restoep
 % Vérification
 who
\end{lstlisting}

%%
\section{Fonctions}
%%

Un ensemble de commandes Matlab peut être considéré comme une fonction. On
peut voir une fonction comme un sous-programme Matlab dont les paramètres
éventuels sont les arguments de la fonction et dont les résultats sont les
images de cette fonction. Beaucoup de fonctions Matlab, comme par exemple
\texttt{mean}, sont déjà écrites en Matlab et le code Matlab correspondant est
stocké dans un fichier dont le nom se termine par \texttt{.m}. Pour mean, il
s'agit de \texttt{mean.m}. Ajouter de nouvelles fonctions à Matlab revient
donc à écrire de nouveaux fichiers de ce type. Il est d'usage d'appeler une
fonction du même nom que le fichier correspondant.

%
\subsection*{Simulation de lois discrètes}
%

Dans votre répertoire personnel, éditer le fichier \texttt{probadis.m} suivant
dont le code Matlab génère une réalisation aléatoire d'une loi discrète à
support fini.

\begin{lstlisting}[language=Matlab]{Fonction probadis}
function realis=probadis(n,x,p)
% Générateur aléatoire d'une loi discrète à support fini.
% n >= 1 est le cardinal du support de la loi.
% p est un vecteur de n nombres réels positifs tel que sum(p) == 1.
% x est un vecteur de n nombres réels donnant le support de la loi.
% Les réalisations successives sont indépendantes.
r = rand; a = 0; b = p(1);
for i = 1 : n-1,
 if ((r >=a) & (r<b))
  realis = x(i);
  return;
 end
 a = b; b = b + p(i+1);
end
realis = x(n);
return;
\end{lstlisting}

La commande Matlab \texttt{type} permet de lister le contenu d'un fichier.
Ainsi, \texttt{type probadis} vous montrera le code source Matlab de la
fonction \texttt{probadis}. Le commentaire ajouté à partir de la seconde ligne
constituera l'aide affiché lorsque l'utilisateur tapera \texttt{help
  probadis}. Finalement, la commande \texttt{what} liste les fichiers Matlab
du répertoire courant.

\begin{exo}
  Créer un code Matlab permettant de générer un vecteur aléatoire $X$
  contenant $N$ réalisations i.i.d. de loi Binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ où les
  valeurs $N,n\geq 1$ et $0<p<1$ sont affectées par l'utilisateur. Pour $N$
  assez grand, vérifier la LGN sur les moyennes empiriques successives de $X$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Soit $(X_n)_n$ une suite de variables aléatoires i.i.d. de loi exponentielle
  $\mathcal{E}(\lambda)$ avec $\lambda >0$. Si $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$, $N_0=0$
  et pour tout $t> 0$, $N_t=\sum_{n=1}^\infty \mathrm{I}_{(S_n\leq t)}$,
  $(N_t)$ est un processus de Poisson d'intensité $\lambda$. Montrer que, pour
  tout $t>0$, $N_t$ suit la loi de Poisson $\mathcal{P}(\lambda t)$. En
  déduire un code Matlab permettant de générer un vecteur aléatoire $Y$
  contenant $N$ réalisations i.i.d. de loi $\mathcal{P}(\lambda)$ où les
  valeurs $N\geq 1$ et $\lambda >0$ sont affectées par l'utilisateur.  Pour
  $N$ assez grand, vérifier la LGN sur les moyennes empiriques successives de
  $Y$.
\end{exo}

\begin{exo}
  Pour $N,N_1$ et $n \geq 1$ avec $N_1,n \leq N$, la loi hypergéométrique
  $\mathcal{H}(N,N_1,n)$ est donnée, pour tout $k \in \mathbb{N}$ avec $0\leq
  k \leq n$, par $\mathbb{P}(X=k)=C_{N_1}^kC_{N-N_1}^{n-k}/C_N^n$.  Créer un
  code Matlab permettant de générer un vecteur aléatoire $Z$ contenant $M$
  réalisations i.i.d. de loi $\mathcal{H}(N,N_1,n)$ où les valeurs $M, N \geq
  1$ et $N_1,n\leq N$ sont affectées par l'utilisateur.
  \begin{enumerate}
  \item[a)] Si $N$ tend vers l'infini et le rapport $N_1/N$ tend vers $p$ avec
    $0<p<1$, montrer que $X$ converge en loi vers la loi Binomiale
    $\mathcal{B}(n,p)$.  Pour $M, N$ assez grand et $N_1=pN$ avec $0<p<1$,
    tracer l'histogramme de $Z$ et comparer le à la loi $\mathcal{B}(n,p)$.
  \item[b)] Si $N, N_1$ et $n$ tendent vers l'infini et le produit $nN_1/N$
    tend vers $\lambda>0$, montrer que $X$ converge en loi vers la loi de
    Poisson $\mathcal{P}(\lambda)$.  Pour $M, N$ assez grand,
    $N_1=\lambda\sqrt{N}$ et $n=\sqrt{N}$, tracer l'histogramme de $Z$ et
    comparer le à la loi $\mathcal{P}(\lambda)$.
  \end{enumerate}
\end{exo}

%%
\section{Représentations graphiques}
%%

\begin{lstlisting}[language=Matlab]%
  {Illustration de la LGN pour la loi exponentielle}
  clear; n = 1000; lambda = 0.5; 
  X = -log(rand(n,1))/lambda;
  % Création d'une nouvelle fenêtre graphique.
  figure; 
  % Trace les moyennes empiriques successives de X
  plot(cumsum(X)'./[1:length(X)],'b')
  % Titre de la figure
  title('Loi des Grands Nombres')
  % Titre des abscisses
  xlabel('Nombre de réalisations')
  % Titre des ordonnées
  ylabel('Moyennes \ empiriques')
  % Garde la fenêtre graphique
  hold  on
  % Trace la limite théorique
  plot(1/lambda*ones(n,1),'r--') 
  % Légende
  legend('Empirique','Theorique')
\end{lstlisting}

\begin{exo}
  Ajouter à vos codes Matlab les représentations graphiques rencontrées
  ci-dessus.
\end{exo}

 \end{document}