\documentclass{pbsheet} \TITRE{Feuille de TP n°10 \\ Fonction de répartition empirique} \FORMATION{Épreuve de modélisation - Agrégation Externe de Mathématiques} \ETABLISSEMENT{Université Paul Sabatier Toulouse III} \ANNEE{2004} \MEL{chafai@math.ups-tlse.fr} \AUTEUR{B. Bercu \& D. Chafaï} \WEB{http://www.lsp.ups-tlse.fr/Chafai/agregation.html} \DATE{Mars 2004} \begin{document} %% \section{Fonction de répartition empirique.} %% \begin{defi}\label{def:fonc-rep-emp} Soit $(X_n)_{n\in\dN^*}$ une suite de v.a.r i.i.d. de fonction de répartition $F$. On appelle \emph{fonction de répartition empirique} associée à $(X_1,\ldots,X_n)$, la fonction aléatoire $F_n$ définie pour tout $x\in \dR$ par $$ F_n(x):=\frac{1}{n}\,\sum_{k=1}^n\rI_\BRA{X_k\leq x}. $$ \end{defi} \begin{thm}[Glivenko-Cantelli] Pour tout $x\in\dR$, on a $F_n(x)\limPS{n}F(x)$, et cette convergence est uniforme sur $\dR$ $$ \sup_{x\in \dR}|F_n(x)-F(x)| \limPS{n} 0. $$ \end{thm} \begin{defi}[Pont brownien] On dit que $(P_t)_{0\leq t \leq 1}$ est un pont brownien si, pour tout $0\leq t \leq 1$, $P_t=B_t-tB_1$ où $(B_t)_{t \geq 0}$ est un mouvement brownien standard issu de zéro. Le pont brownien doit son nom au fait que chacune de ses trajectoires browniennes passe de $0$ à l'instant $0$ à $0$ à l'instant $1$ car $P_0=P_1=0$. \end{defi} \begin{thm}[Kolmogorov-Smirnov]\label{th:KS} Soit $(X_n)_{n\in\dN^*}$ une suite de v.a.r. i.i.d. de fonction de répartition $F$ est continue, alors $$ \sqrt{n}\,\sup_{x\in\dR}(F_n(x)-F(x))\limL{n}\cL(\sup_{0\leq t \leq 1}P_t) \text{\quad et \quad} \sqrt{n}\,\sup_{x\in\dR}|F_n(x)-F(x)|\limL{n}\cL(\sup_{0\leq t \leq 1}|P_t|), $$ où $(P_t)_{0\leq t \leq 1}$ est un pont brownien. \end{thm} Les lois limites qui apparaissent dans le théorème \ref{th:KS} sont bien connues et sont appelées \emph{lois de Kolmogorov-Smirnov}. Elle sont portées par $\dR_+$ et leur fonction de répartition est donnée pour tout $u\geq0$ par: \begin{eqnarray*} \dP\PAR{\sup_{0\leq t \leq 1} P_t \leq u} &=& 1-\exp(-2u^2)\\ \dP\PAR{\sup_{0\leq t \leq 1} |P_t| \leq u} &=& 1+2\sum_{k=1}^\infty(-1)^k\exp(-2k^2u^2). \end{eqnarray*} %% \section{Utilisation en modélisation.} %% \begin{exo}[Glivenko-Cantelli] Créer un code Matlab permettant d'illustrer le théorème de Glivenko-Cantelli sur un $N$-échantillon de loi binomiale $\cB(n,p)$, de loi de Poisson $\cP(\la)$, de loi exponentielle $\cE(\la)$ et de loi normale $\cN(m,\si^2)$ où les paramètres sont affectés par l'utilisateur. \end{exo} \begin{exo}[Test de Kolmogorov-Smirnov pour l'adéquation à la loi normale] Créer un code Matlab permettant de générer, avec l'algorithme de Box-Muller ou l'algorithme polaire, un $N$-échantillon de loi normale $\cN(m,\si^2)$ où $N$, $m$ et $\si^2$ sont affectés par l'utilisateur. Effectuer ensuite un test de Kolmogorov-Smirnov d'adéquation à la loi normale $\cN(m,\si^2)$ en utilisant la fonction Matlab \texttt{pks}. Essayer d'autres lois comme la loi uniforme $\cU([0,1])$, la loi exponentielle $\cE(\la)$ et la loi de Cauchy $\cC(\la)$ avec $\la>0$. \end{exo} \begin{exo}[Google!] Google! cherche à évaluer l'attirance des toulousains vers son moteur de recherches. Son service marketing a comptabilisé, sur cent journées choisies au hasard, le nombre de connexions sur Google! via Toulouse, dans le tableau suivant: \begin{center} {\small \begin{tabular}{l|ccccc} Milliers de connexions &[3.9\ ;\ 6.0[ &[6.0\ ;\ 7.6[ &[7.6\ ;\ 8.4[ &[8.4\ ;\ 10.0[ &[10.0\ ;\ 12.0[\\ \hline Effectis associés & 4 & 35 & 37 & 21 & 3 \end{tabular} } \end{center} Effectuer un test de Kolmogorov-Smirnov d'adéquation de ces observations à la loi $\cN(8,1)$, avec un niveau de confiance de $95\%$ puis de $99\%$, en utilisant la fonction \texttt{kstest} de Matlab. Effectuer également un test du $\chi^2$ d'ajustement et comparer vos résultats. \end{exo} \begin{exo}[Test d'homogénéité de Kolmogorov-Smirnov] Soit $(X_1,\ldots,X_n)$ un $n$-échantillon de fonction de répartition $F$ et soit $(Y_1,\ldots,Y_m)$ un $m$-échantillon de fonction de répartition $G$. On suppose que ces deux échantillons sont indépendants et que $F$ et $G$ sont continues. On veut tester $H_0$: «$F=G$» contre $H_1$: «$F\neq G$». Soient $F_n$ et $G_m$ les fonctions de répartition empirique associées à $(X_1,\ldots,X_n)$ et $(Y_1,\ldots,Y_m)$. Alors, sous $H_0$ $$ \sqrt{\frac{nm}{n+m}}\,\sup_{x\in\dR}|F_n(x)-G_m(x)|\limL{n}% \sup_{0\leq t\leq 1} |P_t| $$ où $(P_t)_{0\leq t\leq 1}$ est un pont brownien. Effectuer un test d'homogénéité de Kolmogorov-Smirnov sur deux échantillons indépendants de loi uniforme $\cU([0,1])$ et de tailles respectives $n=100$ et $m=1000$. Essayer d'autres lois. \end{exo} \begin{exo}[Grosses boites] Les deux tableaux suivant représentent le revenu net en milliards d'Euros pour l'année 2002 de vingt groupes français et de vingt-quatre groupes allemands de l'industrie et des services. \begin{center} Groupes Français\\\medskip \begin{tabular}{|cccccccccc|}\hline 0.2&3.8&7.6&4.0&4.1&-2.8&4.7&3.6&5.4&-0.2\\ 1.6&5.6&-0.6&0.8&-5.0&0.1&2.9&3.7&3.9&1.1\\\hline \end{tabular}\\ \medskip Groupes Allemands\\\medskip \begin{tabular}{|cccccccccccc|}\hline 1.8&4.0&1.4&1.9&1.9&1.8&1.4&1.9&1.4&4.5&2.2&2.4\\ 3.1&0.3&-1.4&0.4&2.3&0.2&1.5&4.8&0.6&1.0&1.5&5.5\\\hline \end{tabular} \end{center} Effectuer un test d'homogénéité de Kolmogorov-Smirnov sur ces observations en utilisant la fonction \texttt{kstest2} de Matlab. \end{exo} \begin{exo}[Estimation non paramétrique à noyau d'une densité] Soit $(X_n)_{n\in\dN}$ une suite de v.a. indépendantes et de même loi, de densité de probabilité $f$. On suppose que $f\in\cC^1(\dR)$ et que $f'$ est bornée. Soit $K:\dR\to\dR_+$ une fonction bornée appelée noyau, telle que $$ \int_{\dR}\!\!K(x)\,dx=1 % \text{\quad et\quad} % \int_{\dR}\!\!K^2(x)\,dx=\si^2. $$ On peut par exemple choisir le noyau uniforme $K(x)=(2a)^{-1}\,\rI_{[-a,a]}(x)$ avec $a>0$ ou encore le noyau gaussien $K(x)=(2\pi)^{-n/2}\,\exp(-x^2/2)$. On estime $f$ par l'estimateur à noyau $\WH{f}_n$ défini $\forall x \in \dR$ par $$ \WH{f}_n(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\frac{1}{h_i}K\PAR{\frac{X_i-x}{h_i}} $$ où $h_n:=n^{-\al}$ avec $0<\al<1$. Montrer que $\WH{f}_n(x)\limPS{n}f(x)$ et que si $1/3<\al<1$, $$ \sqrt{nh_n}\,\PAR{\WH{f}_n(x)-f(x)}% \limL{n}\cN\PAR{0,\frac{\si^2f(x)}{1+\al}}. $$ Créer un code Matlab permettant d'illustrer cette méthode d'estimation de la densité par noyaux sur la loi normale $\cN(m,\si^2)$ et sur la loi exponentielle $\cE(\la)$, où les paramètres $m$, $\si^2$ et $\la>0$ sont affectés par l'utilisateur. \end{exo} \end{document}