{"id":8813,"date":"2016-03-21T09:20:00","date_gmt":"2016-03-21T08:20:00","guid":{"rendered":"http:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/?p=8813"},"modified":"2022-10-21T11:32:00","modified_gmt":"2022-10-21T09:32:00","slug":"integration-alpha-et-omega","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/2016\/03\/21\/integration-alpha-et-omega\/","title":{"rendered":"Int\u00e9gration - alpha et omega"},"content":{"rendered":"
\"Robert<\/a>
Robert Solovay (1938 - )<\/figcaption><\/figure>\n

En unifiant la th\u00e9orie de la mesure d'\u00c9mile Borel<\/a> et la th\u00e9orie de l'int\u00e9gration de Bernhard Riemann<\/a>, Henri-L\u00e9on Lebesgue<\/a> a cr\u00e9\u00e9 un paradis pour les math\u00e9maticiens. Ces derniers ont eu du mal \u00e0 s'en rendre compte, et m\u00eame les plus illustres comme Nicolas Bourbaki<\/a> ont ignor\u00e9 le sujet durablement.\u00a0Stanis\u0142aw Saks<\/a> et Paul Halmos<\/a> ont beaucoup fait, dit-on, pour la diffusion de la th\u00e9orie de la mesure et l'int\u00e9grale de Lebesgue. Il existe, de nos jours, plusieurs mani\u00e8res d'introduire et d'\u00e9tudier l'int\u00e9grale de Lebesgue (en troisi\u00e8me ann\u00e9e de licence en France). Les analystes sp\u00e9cialistes des \u00e9quations aux d\u00e9riv\u00e9es partielles et du calcul des variations pr\u00e9f\u00e8rent bien souvent \u00e9vacuer rapidement la th\u00e9orie de la mesure et les tribus, pour se consacrer pleinement aux aspects fonctionnels, car les fonctions tests sont leur alpha et omega<\/a>. Ils appr\u00e9cient l'int\u00e9grale de Lebesgue notamment pour ses commutations : th\u00e9or\u00e8mes de convergence monotone, lemme de Pierre Fatou<\/a>, th\u00e9or\u00e8me de convergence domin\u00e9e, et th\u00e9or\u00e8me de Guido Fubini<\/a> et Leonida Tonelli<\/a>. Les probabilistes en revanche mettent plus l'accent sur la th\u00e9orie de la mesure et les tribus, car c'est le langage moderne des probabilit\u00e9s invent\u00e9 par Andre\u00ef Kolmogorov<\/a>, qui permet notamment de donner un sens \u00e0 l'ind\u00e9pendance et d'unifier l'\u00e9tude des variables al\u00e9atoires discr\u00e8tes et continues : les sommes et les int\u00e9grales sont des objets de m\u00eame nature et les th\u00e9or\u00e8mes sont les m\u00eames. Il est bien s\u00fbr possible de proc\u00e9der de mani\u00e8re \u00e9quilibr\u00e9e en m\u00e9nageant la ch\u00e8vre et le chou, mais force est de constater que tout le monde ne souhaite pas \u00eatre polyglotte. La mesurabilit\u00e9 constitue un sujet \u00e9pineux pour les \u00e9tudiants, culminant avec l'effrayante simplicit\u00e9 de construction d'ensembles non mesurables gr\u00e2ce \u00e0 l'axiome du choix. Je ne r\u00e9siste pas au plaisir de partager un extrait du cours d'analyse de Jean-Michel Bony<\/a>, signal\u00e9 par Yann Brenier<\/a> :<\/p>\n

\n

1.6.1. Existe-t-il des ensembles et des fonctions non mesurables? L'exp\u00e9rience sugg\u00e8re la r\u00e9ponse non<\/em>. En effet, les ensembles mesurables forment une tribu contenant les ouverts et il en r\u00e9sulte que l'espace des fonctions mesurables contient les fonctions continues et est stable par toutes les op\u00e9rations d\u00e9nombrables usuelles : limite d'une suite (ou somme d'une s\u00e9rie) de fonctions qui converge en chaque point, sup ou inf d\u00e9nombrable,... \u00c0 titre d'exemple, le lecteur pourra voir dans l'exercice B.2.4 que la fonction \u00e9gale \u00e0 1 en tout point rationnel et \u00e0 0 en tout point irrationnel \u2014 le type m\u00eame de la fonction non int\u00e9grable au sens de Riemann, alors que c'est une excellente fonction sommable d'int\u00e9grale nulle \u2014 est limite d'une suite de fonctions dont chacune est limite d'une suite de fonctions continues. On peut bien s\u00fbr faire beaucoup plus compliqu\u00e9, mais on n'arrive jamais \u00e0 construire une fonction non mesurable sans faire appel \u00e0 l'axiome du choix.<\/p>\n

La v\u00e9ritable r\u00e9ponse \u00e0 la question pos\u00e9e est : cela d\u00e9pend des axiomes mis \u00e0 la base des math\u00e9matiques.<\/em> On a en effet les deux r\u00e9sultats suivants.<\/p>\n