{"id":6537,"date":"2013-12-18T18:40:56","date_gmt":"2013-12-18T17:40:56","guid":{"rendered":"http:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/?p=6537"},"modified":"2021-08-29T16:05:44","modified_gmt":"2021-08-29T14:05:44","slug":"triangles","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/2013\/12\/18\/triangles\/","title":{"rendered":"Triangles"},"content":{"rendered":"

\"Escher<\/a><\/p>\n

Chaque math\u00e9maticien a une mani\u00e8re bien \u00e0 lui de concevoir son positionnement scientifique. Dans mon cas, il me semble souvent pertinent de penser \u00e0 deux triangles, un grand et un petit. Le grand triangle \u00e9tant Math\u00e9matique-Informatique<\/strong>-Physique<\/strong>, et le petit\u00a0Analyse-Probabilit\u00e9s-Statistique<\/strong>. Le petit triangle, plus personnel, voyage dans le paysage du grand. Ici\u00a0le mot Physique<\/strong>\u00a0est \u00e0 prendre au sens ancien et large, c'est-\u00e0-dire tout ce qui est math\u00e9matisation du monde r\u00e9el. Cela englobe notamment une bonne part de la physique au sens moderne, des bio-math\u00e9matiques, de l'\u00e9conom\u00e9trie, de la finance math\u00e9matique, etc. Il y a de ce point de vue, par exemple, une Physique des march\u00e9s financiers, une Physique des march\u00e9s immobiliers, mais aussi une Physique de l'\u00e9volution des esp\u00e8ces vivantes. Toujours dans le grand triangle, il faut comprendre Informatique<\/strong> comme tout ce qui a trait aux machines et aux algorithmes. Cela englobe une bonne part des math\u00e9matiques finies constructives notamment, mais pas seulement. Enfin le sommet Math\u00e9matique<\/strong> du grand triangle correspond essentiellement aux math\u00e9matiques pour elles-m\u00eames, d\u00e9connect\u00e9es du monde r\u00e9el et des algorithmes, celles qui ne plaisent pas beaucoup \u00e0 Vladimir Arnold<\/a>.<\/p>\n

De ce point de vue, la plupart des coll\u00e8gues math\u00e9maticiens que j'ai c\u00f4toy\u00e9s ont aussi leur petit polygone personnel, parfois triangulaire, qui voyage dans le grand triangle, ou qui ne voyage pas, selon les go\u00fbts. Le coin informatique du grand triangle ne pla\u00eet pas \u00e0 tout le monde. Je connais par exemple des analystes et des probabilistes qui disent ne s'int\u00e9resser qu'aux math\u00e9matiques li\u00e9es \u00e0 une physique. Les plus convaincus habitent sans doute dans le segment Math\u00e9matique-<\/strong>Physique<\/strong>. D'autres au contraire appr\u00e9cient par exemple les algorithmes d'optimisation et ont typiquement une proximit\u00e9 avec le sommet Informatique<\/strong>, mais sont parfois tr\u00e8s peu excit\u00e9s par le sommet Physique<\/strong>. Au del\u00e0 des math\u00e9maticiens, il y a par ailleurs des physiciens extraordinaires, tr\u00e8s \u00e0 l'aise dans le grand triangle, bien que s'ennuyant fermement pr\u00e8s du sommet Math\u00e9matique<\/strong>, et pour qui les concepts sont plus importants que les techniques. Pour r\u00e9soudre un probl\u00e8me d'optimisation combinatoire par exemple, on peut mettre en \u0153uvre<\/span> un algorithme dont on \u00e9tudie la dynamique comme s'il s'agissait d'un ph\u00e9nom\u00e8ne physique. L'algorithme est parfois m\u00eame directement inspir\u00e9 de la physique, comme le recuit simul\u00e9. Il y a une physique des algorithmes et une physique computationnelle, peuplant le segment Informatique-Physique<\/strong>.<\/p>\n

Il est possible d'adopter un point de vue graphique<\/a>, tout aussi plaisant.<\/p>\n

Les sommets Physique<\/strong> et Informatique<\/strong> du grand triangle sont en fait li\u00e9s \u00e0 l'exp\u00e9rience concr\u00e8te, tandis que le sommet Math\u00e9matique<\/strong> est li\u00e9 \u00e0 l'abstrait d\u00e9ductif. Le grand math\u00e9maticien Vladimir Arnold<\/a> d\u00e9fendait les math\u00e9matiques exp\u00e9rimentales (vid\u00e9o superbe \u00e0 visionner jusqu'au bout dans tous ses d\u00e9tails !<\/a>). Il raillait - judicieusement mais avec exc\u00e8s ! - les exc\u00e8s d'abstraction d\u00e9ductiviste cart\u00e9sienne de l'enseignement des math\u00e9matiques en France, symbolis\u00e9s par Nicolas Bourbaki<\/a> et Jean Dieudonn\u00e9<\/a>. Bien que tr\u00e8s ancienne, cette opposition, li\u00e9e philosophiquement au platonisme<\/a>, traverse avec force et fracas le vingti\u00e8me si\u00e8cle math\u00e9matique. Elle ne correspond pas tout \u00e0 fait \u00e0 l'opposition faite entre math\u00e9matiques pures et appliqu\u00e9es. Le grand math\u00e9maticien Paul Halmos<\/a> aimait dire \u00e0 ce sujet que les math\u00e9matiques sont fractur\u00e9es en deux parties : la mathophysique et la mathologie. Au del\u00e0 des sectarismes, une forme de d\u00e9passement de cette opposition est bien visible chez de grands math\u00e9maticiens contemporains comme Terence Tao<\/a> par exemple. Il n'y a pas de mani\u00e8re canonique de concevoir les math\u00e9matiques. \u00c0 notre jeunesse, il faut sans doute proposer un enseignement \u00e0 la fois d\u00e9ductif et exp\u00e9rimental pour s\u00e9duire tous les esprits. L'abstraction d\u00e9ductiviste permet de mettre en valeur des concepts universels dans diverses exp\u00e9riences physiques concr\u00e8tes. Ce sont les exc\u00e8s qui posent probl\u00e8me. Le reste n'est que richesse de la pens\u00e9e. La force des math\u00e9matiques r\u00e9side dans cette coh\u00e9rence surprenante entre mathologie et mathophysique, qui d\u00e9passe les math\u00e9maticiens !<\/p>\n

Vladimir Arnold disait que dans l'\u00e9cole fran\u00e7aise de math\u00e9matiques, il est bon d'\u00e9noncer un r\u00e9sultat dans la g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9 maximale o\u00f9 il reste valable, tandis que dans l'\u00e9cole russe, il est bon d'\u00e9noncer un r\u00e9sultat dans la g\u00e9n\u00e9ralit\u00e9 minimale dans laquelle il reste int\u00e9ressant. Bien \u00e9videmment, les deux visions sont excitantes et f\u00e9condes. Elles constituent les deux jambes avec lesquelles les math\u00e9matiques marchent (et tr\u00e9buchent parfois) !<\/p>\n

\u00c0 propos de triangles, de pens\u00e9es, et de math\u00e9matiques, il est tout naturel de signaler l'existence d'un livre int\u00e9ressant intitul\u00e9 Triangles de pens\u00e9e<\/em><\/a>, par Alain Connes, Andr\u00e9 Lichnerowicz, et Marcel-Paul Schutzenberger, publi\u00e9 en 2000 chez Odile Chacob.<\/p>\n

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Chaque mathématicien a une manière bien à lui de concevoir son positionnement scientifique. Dans mon cas, il me semble souvent pertinent de penser à deux…<\/p>\n

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