{"id":5885,"date":"2013-04-14T14:09:31","date_gmt":"2013-04-14T12:09:31","guid":{"rendered":"http:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/?p=5885"},"modified":"2014-06-17T00:12:57","modified_gmt":"2014-06-16T22:12:57","slug":"journees-x-ups-2013","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/2013\/04\/14\/journees-x-ups-2013\/","title":{"rendered":"Journ\u00e9es X-UPS 2013"},"content":{"rendered":"

\"Centre<\/a><\/p>\n

J\u2019ai le plaisir cette ann\u00e9e d\u2019intervenir lors des journ\u00e9es math\u00e9matiques X-UPS<\/a>, aux c\u00f4t\u00e9s de Christophe Giraud<\/a> et de Sylvie M\u00e9l\u00e9ard<\/a>. Ma mission est de proposer une introduction aux matrices al\u00e9atoires (documents \u00e9lectroniques: notes de cours<\/a> et planches d\u2019expos\u00e9s<\/a>).<\/p>\n

Voici les r\u00e9ponses \u00e0 quelques questions pos\u00e9es pendants les expos\u00e9s:<\/p>\n

Question.<\/b> Comment montrer que la mesure de comptage normalis\u00e9e des valeurs propres d'une matrice de permutation al\u00e9atoire de loi uniforme sur le groupe sym\u00e9trique converge vers la loi uniforme sur cercle unit\u00e9 quand la dimension tend vers l'infini?<\/em><\/p>\n

R\u00e9ponse.<\/b> il suffit de montrer que tous les moments convergent vers z\u00e9ro:<\/p>\n

\\[ \\forall r\\in\\mathbb{N}^*, \\lim_{n\\rightarrow\\infty}\\mathbb{E}\\frac{1}{n}\\mathrm{Tr}(P_\\sigma^r)=0 \\]<\/p>\n

Ils sont li\u00e9s aux points fixes de \\( {\\sigma^r} \\) (cycles de longueur \\( {r} \\) de \\( {\\sigma} \\)) comme \u00e9voqu\u00e9 ici<\/a>.<\/p>\n

Question.<\/b> Combien de temps prend le calcul sur ordinateur du spectre d'une matrice 600x600?<\/em><\/p>\n

R\u00e9ponse.<\/b> De l'ordre de la seconde avec Scilab sur un ordinateur portable ordinaire. Par ailleurs, sur mon ordinateur portable, la plus grande dimension praticable est de l'ordre de 1500, pour des raisons de m\u00e9moire vive essentiellement.<\/p>\n

Question.<\/b> Les calculs num\u00e9riques de spectres sont-il pr\u00e9cis ?<\/em><\/p>\n

R\u00e9ponse.<\/b> Pas toujours. Il est possible de construire des exemples pathologiques (nilpotence, mauvais conditionnement) qui produisent des r\u00e9sultats num\u00e9riques pathologiques. Cependant, les matrices \u00e0 coefficient i.i.d. ne sont pas pathologiques avec grande probabilit\u00e9. Les m\u00e9thodes it\u00e9ratives de l'analyse num\u00e9rique matricielle (comme l'algorithme QR par exemple) sont d\u00e9taill\u00e9es dans le livre de Golub et van Loan<\/a>.<\/p>\n

Question.<\/b> D'accord \\( {\\mu_n(I):=\\mu_{\\frac{1}{\\sqrt{n}}H}(I)} \\) converge vers \\( {\\mu(I)} \\), mais \u00e0 quelle vitesse? Peut-on quantifier cette convergence?<\/em><\/p>\n

R\u00e9ponse.<\/b> Oui, pour GUE par exemple, Gustavsson a montr\u00e9 que pour tout \\( {I=]-\\infty,x]} \\) avec \\( {-2<x<2} \\), le th\u00e9or\u00e8me central limite suivant a lieu:<\/p>\n

\\[ \\frac{\\mu_n(I)-\\mathbb{E}(\\mu_n(I))}{\\sqrt{\\mathrm{Var}(\\mu_n(I))}} \\overset{\\text{loi}}{\\longrightarrow}\\mathrm{Normale}(0,1). \\]<\/p>\n

De plus, \\( {\\mathbb{E}(\\mu_n(I))=\\mu(I)+O(\\ln(n)\/n^2)} \\) et \\( {2\\pi^2\\mathrm{Var}(\\mu_n(I))\\sim c\\ln(n)} \\) ce qui donne<\/p>\n

\\[ \\frac{\\sqrt{2}\\pi n}{\\sqrt{\\ln(n)}} (\\mu_n(I)-\\mu(I)) \\overset{\\text{loi}}{\\longrightarrow}\\mathrm{Normale}(0,1). \\]<\/p>\n

La vitesse est diff\u00e9rente pour \\( {x=\\pm2} \\). La vitesse d\u00e9pend \u00e9galement de la r\u00e9gularit\u00e9 de la fonction test (ci-dessus \\( {f=\\mathbf{1}_I} \\)). D'apr\u00e8s Pastur et Lytova, elle ne d\u00e9pend pas de \\( {n} \\) lorsque \\( {f} \\) est continue born\u00e9e d\u00e9rivable et \u00e0 d\u00e9riv\u00e9e born\u00e9e:<\/p>\n

\\[ \\frac{1}{\\sigma_f}\\left(\\int\\!f\\,d\\mu_n-\\int\\!f\\,d\\mu\\right) \\overset{\\text{loi}}{\\longrightarrow}\\mathrm{Normale}(0,1) \\]<\/p>\n

o\u00f9<\/p>\n

\\[ \\sigma_f^2:=\\frac{1}{4\\pi^2}\\int_{-2}^2\\int_{-2}^2\\! \\left(\\frac{f(x)-f(y)}{x-y}\\right)^2 \\frac{4-xy}{\\sqrt{4-x^2}\\sqrt{4-y^2}}\\,dxdy. \\]<\/p>\n

On peut \u00e9galement, pour une classe de fonctions \\( {\\mathcal{F}} \\), chercher \u00e0 contr\u00f4ler la quantit\u00e9<\/p>\n

\\[ \\sup_{f\\in\\mathcal{F}}\\left|\\int\\!f\\,d\\mu_n-\\int\\!f\\,d\\mu\\right|. \\]<\/p>\n

Lorsque par exemple \\( {\\mathcal{F}} \\) est constitu\u00e9e par les fonctions lipschitziennes, on obtient la distance de couplage de Wasserstein W1, qui revient \u00e0 contr\u00f4ler le premier moment (sa vitesse est de l'ordre de \\( {1\/\\sqrt{n}} \\)). Pour en savoir plus, notamment au del\u00e0 du cas GUE, on pourra consulter la th\u00e8se de Sandrine Dallaporta (2012)<\/a>.<\/p>\n

Question.<\/b> Faut-il dire in\u00e9galit\u00e9 de concentration de Azuma-Hoeffding ou de McDiarmid?<\/em><\/p>\n

R\u00e9ponse.<\/b> La seconde est une version sp\u00e9ciale de la premi\u00e8re, comme expliqu\u00e9 ici<\/a>.<\/p>\n

Question.<\/b> Est-ce qu'on peut prouver le th\u00e9or\u00e8me de Wigner en se ramenant au cas gaussien?<\/em><\/p>\n

R\u00e9ponse.<\/b> Oui, il existe des preuves sp\u00e9cifiques pour le cas gaussien GUE, qui tirent partie de la densit\u00e9 explicite des valeurs propres. Ensuite, il existe des strat\u00e9gies de r\u00e9duction au cas GUE, en rempla\u00e7ant une \u00e0 une les coefficients de la matrice par un coefficient gaussien. Cela n\u00e9cessite l'utilisation de formules de Hadamard donnant la d\u00e9riv\u00e9e du spectre par rapport aux coefficients. Contrairement au cas du th\u00e9or\u00e8me central limite habituel, nous avons ici \\( {n^2} \\) variables, ce qui n\u00e9cessite le contr\u00f4le de quatre moments des coefficients. Cette strat\u00e9gie est au coeur de la preuve du th\u00e9or\u00e8me des quatre moments de Tao et Vu.<\/p>\n

Question.<\/b> Comment simuler des matrices orthogonales de loi uniforme?<\/em><\/p>\n

R\u00e9ponse.<\/b> Il s'agit de simuler la mesure de Haar sur le groupe orthogonal. Il est possible d'utiliser l'algorithme d'orthonormalisation de Gram-Schmidt \u00e0 partir de vecteurs al\u00e9atoires i.i.d. gaussiens (algorithme QR). Cela revient par exemple \u00e0 effectuer un produit de \\( {n} \\) matrices de Householder al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes sp\u00e9ciales, cf. Generation of random orthogonal matrices, par Anderson, Olkin, et Underhill<\/a>. Pour le groupe unitaire, cf. How to generate random unitary matrices, par Ozols<\/a>. Plus g\u00e9n\u00e9ralement, on pourra consulter How to Generate Random Matrices from the Classical Compact Groups, par Mezzadri<\/a>. Cela fait penser \u00e0 l'algorithme de Fisher-Yates-Knuth<\/a> pour la mesure de Haar sur les matrices de permutations (groupe sym\u00e9trique) qui consiste en un produit de \\( {n} \\) transpositions al\u00e9atoires ind\u00e9pendantes sp\u00e9ciales.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

J’ai le plaisir cette année d’intervenir lors des journées mathématiques X-UPS, aux côtés de Christophe Giraud et de Sylvie Méléard. Ma mission est de proposer…<\/p>\n

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