{"id":28,"date":"2010-04-30T23:28:26","date_gmt":"2010-04-30T21:28:26","guid":{"rendered":"http:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/?p=28"},"modified":"2019-11-10T19:02:24","modified_gmt":"2019-11-10T18:02:24","slug":"problemes-inverses","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/2010\/04\/30\/problemes-inverses\/","title":{"rendered":"Probl\u00e8mes inverses"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align: justify;\">En math\u00e9matiques appliqu\u00e9es, on parle de <em>probl\u00e8me inverse<\/em> lorsqu'on cherche \u00e0 reconstituer une information inconnue \u00e0 partir de son observation indirecte au travers d'un canal distordant et bruit\u00e9. Il s'agit donc d'op\u00e9rer l'inversion d'une transformation. Les exemples sont nombreux. En th\u00e9orie du signal, les radaristes cherchent \u00e0 reconstituer la trajectoire de l'avion \u00e0 partir de la signature radar. En informatique, le r\u00e9cepteur cherche \u00e0 reconstituer le message de l'\u00e9metteur malgr\u00e9 la mauvaise qualit\u00e9 du canal de communication. Le pirate cherche \u00e0 reconstituer la cl\u00e9 secr\u00e8te \u00e0 partir d'observations indirectes. En sciences de la terre, les m\u00e9t\u00e9orologues cherchent \u00e0 reconstituer les caract\u00e9ristiques du profil atmosph\u00e9rique \u00e0 partir de l'observation des radiances par satellite, malgr\u00e9 la nature complexe du transfert radiatif. Les ing\u00e9nieurs cherchent \u00e0 reconstituer la g\u00e9om\u00e9trie et la nature du sous-sol \u00e0 partir des enregistrement sismographiques. En biologie, les pharmacologues cherchent \u00e0 reconstituer certaines caract\u00e9ristiques biologiques du patient \u00e0 partir de l'observation bruit\u00e9e des cin\u00e9tiques du principe actif dans son sang. Les imagistes cherchent \u00e0 reconstituer la structure des organes internes du patient \u00e0 partir de l'observation bruit\u00e9e de IRM ou PET. Les probl\u00e8mes inverses sont l\u00e9gion et en dresser une liste plus longue serait idiot.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">Math\u00e9matiquement, on peut repr\u00e9senter sch\u00e9matiquement un probl\u00e8me inverse sous la forme suivante : trouver un $X$ raisonnable tel que $Y\\approx F(X,\\varepsilon)$. Ici, $Y$ est l'observation, $F$ la transformation, $\\varepsilon$ le bruit, et $X$ l'information recherch\u00e9e non observ\u00e9e. Bien \u00e9videment, les probl\u00e8mes concrets font intervenir des covariables et du temps dans bien des cas. La fonction $F$ est souvent connue, mais pas toujours compl\u00e8tement, et la lin\u00e9arit\u00e9 est rarement au rendez-vous en premi\u00e8re approche. D'un point de vue statistique, nous n'avons pas affaire \u00e0 un probl\u00e8me de r\u00e9gression car $X$ n'est pas connu. Une id\u00e9e vague qui permet de r\u00e9soudre un certain nombre de probl\u00e8mes inverses consiste \u00e0 minimiser $X'\\mapsto d(F(X',\\varepsilon),Y)+P(X')$ sur une classe de signaux $X'$. Ici $d$ est une distance dans l'espace des observations et $P$ une p\u00e9nalit\u00e9 qui p\u00e9nalise les $X'$ trop complexes. Le traitement du bruit d\u00e9pend de la situation. Ce point de vue de l'optimisation permet de d\u00e9finir un estimateur de $X$. L'essentiel de la statistique de l'estimation peut \u00eatre traduit sous forme de probl\u00e8me inverse. Les probl\u00e8mes de d\u00e9bruitage et de filtrage sont fortement reli\u00e9s aux probl\u00e8mes inverses. Lorsque le temps intervient, des approches r\u00e9cursives sont disponibles. Plus r\u00e9cemment, de nouvelles techniques math\u00e9matiques ont permis de prendre en compte la sparsit\u00e9 du signal $X$. Ainsi, il est possible de traiter le cas o\u00f9 $Y$ est de dimension beaucoup plus petite que $X$, pourvu que la dimension \u00abr\u00e9elle\u00bb du signal $X$ soit beaucoup plus petite que l'espace dans le lequel il est repr\u00e9sent\u00e9, en raison de sa sparsit\u00e9.<\/p>\n<p style=\"text-align: justify;\">\u00c0 l'heure actuelle, le probl\u00e8me inverse le plus c\u00e9l\u00e8bre est sans doute celui du climat...<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>En math&eacute;matiques appliqu&eacute;es, on parle de probl&egrave;me inverse lorsqu'on cherche &agrave; reconstituer une information inconnue &agrave; partir de son observation indirecte au travers d'un canal&#8230;<\/p>\n<div class=\"more-link-wrapper\"><a class=\"more-link\" href=\"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/2010\/04\/30\/problemes-inverses\/\">Continue reading<span class=\"screen-reader-text\">Probl\u00e8mes inverses<\/span><\/a><\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"iawp_total_views":170},"categories":[1],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28"}],"collection":[{"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=28"}],"version-history":[{"count":3,"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":11751,"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/28\/revisions\/11751"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=28"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=28"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=28"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}