{"id":23776,"date":"2026-10-22T13:34:59","date_gmt":"2026-10-22T11:34:59","guid":{"rendered":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/?p=23776"},"modified":"2026-10-22T15:33:18","modified_gmt":"2026-10-22T13:33:18","slug":"g-a-hunt-martingales-et-processus-de-markov","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/2026\/10\/22\/g-a-hunt-martingales-et-processus-de-markov\/","title":{"rendered":"G. A. Hunt : martingales et processus de Markov"},"content":{"rendered":"
\"Gilbert<\/a>
Gilbert Agnew Hunt, Jr. (1916 - 2008) Mathematician and tennis player. Famous for his works connecting potential theory and Markov processes.<\/figcaption><\/figure>\n

Gilbert Agnew Hunt Jr. (1916 - 2008) \u00e9tait un math\u00e9maticien et joueur de tennis amateur, ayant atteint les quarts de finale de l'US Open, alors appel\u00e9 U.S. National Championships, en 1938 et 1939. Hunt a pr\u00e9par\u00e9 sa th\u00e8se \u00e0 l'universit\u00e9 de Princeton, sous la direction de Salomon Bochner (1899 - 1982). Il a \u00e9t\u00e9 professeur \u00e0 Princeton et \u00e0 Cornell. Robert McCallum Blumenthal (1931 - 2012) et Richard M. Dudley (1938 - 2020) comptent parmi ses doctorants. Ils \u00e9taient de la m\u00eame g\u00e9n\u00e9ration que Jacques Neveu (1932 - 2016) et Paul-Andr\u00e9 Meyer (1934 - 2003), tandis que Hunt \u00e9tait de la m\u00eame g\u00e9n\u00e9ration que Joseph Leo Doob (1910 - 2004), Kai Lai Chung (1917 - 2009), et William Feller (1906 - 1970). Eugene B. Dynkin (1924 - 2014) quant \u00e0 lui est entre les deux g\u00e9n\u00e9rations. Les recherches de Hunt ont principalement port\u00e9 sur la th\u00e9orie des processus stochastiques, et leurs liens avec la th\u00e9orie du potentiel. Personnellement, j'ai rep\u00e9r\u00e9 son existence relativement tardivement, en raison de mon propre int\u00e9r\u00eat pour ces deux sujets, une conjonction moins fr\u00e9quente de nos jours sur le front de la recherche.<\/p>\n

Ma coll\u00e8gue Nayara Gil-Cond\u00e9, responsable de la biblioth\u00e8que de math\u00e9matiques et informatique, m'a fait d\u00e9couvrir un petit livre rouge de Hunt publi\u00e9 en 1966 chez Dunod, en fran\u00e7ais, sur les martingales et les processus de Markov. Il s'agit de la version \u00e9crite d'un cours qu'il a donn\u00e9 \u00e0 la Facult\u00e9 des Sciences d'Orsay, en 1962-1963, qui reproduit, \u00e0 quelques corrections pr\u00e8s, l'\u00e9dition ron\u00e9otyp\u00e9e faite dans le cadre des \u00ab publications du s\u00e9minaire de math\u00e9matiques d'Orsay \u00bb, en 1963, sous le titre \u00ab Les Martingales \u00bb. La pr\u00e9paration du texte pour l'impression est due \u00e0 \u00ab Mlle Myriam Monteiro Gondim \u00bb. Dans ce livre, Hunt d\u00e9finit les martingales avant l'esp\u00e9rance conditionnelle, en utilisant la caract\u00e9risation de l'esp\u00e9rance conditionnelle :
\n$$
\n\\int_A M_t\\mathrm{d}\\mathbb{P}=\\int_A M_s\\mathrm{d}\\mathbb{P},\\quad s\\leq t,\\quad A\\in\\mathcal{F}_s.
\n$$ Chez Hunt, c'est un th\u00e9or\u00e8me de convergence des martingales dans $L^1$ qui permet ensuite de d\u00e9montrer l'existence de l'esp\u00e9rance conditionnelle (page 43) et le th\u00e9or\u00e8me de Radon-Nikodym (pages 51-52) de mani\u00e8re probabiliste et constructive. Le style de Hunt est \u00e9pur\u00e9, \u00e9tonnamment moderne. Voici les notes bibliographiques du livre, qui donnent une id\u00e9e de l'\u00e9tat de d\u00e9veloppement de la th\u00e9orie des processus stochastiques \u00e0 l'\u00e9poque :<\/p>\n

\"Hunt<\/a>
G. A. Hunt - Martingales et processus de Markov, Dunod (1966)<\/figcaption><\/figure>\n

Lorsque le temps aussi bien que l\u2019espace de phase sont discrets (cha\u00eenes de Markov) la th\u00e9orie du potentiel et celle des fronti\u00e8res se simplifient tout en gardant leur valeur. Le m\u00e9moire<\/p>\n

(a) J. L. DOOB, Discrete potential theory and boundaries, J. Math. Mech., 8 (1959) pp. 453-458.<\/p>\n

pr\u00e9sente les d\u00e9monstrations pour les potentiels mais seulement les \u00e9nonc\u00e9s pour les fronti\u00e8res tandis que<\/p>\n

(b) G. A. HUNT, Markov chains and Martin boundaries, Illinois J. Math., 4 (1960) pp. 313-340.<\/p>\n

expose en d\u00e9tail la th\u00e9orie des fronti\u00e8res. La th\u00e9orie du potentiel que nous avons abord\u00e9e dans ce cours est d\u00e9velopp\u00e9e dans<\/p>\n

(c) G. A. HUNT, Markov processes and potentials, Illinois J. Math., 1 (1957) pp. 44-93 (et deux m\u00e9moires de m\u00eame titre dans les tomes 1 et 2).<\/p>\n

On trouvera l\u2019\u00e9tude approfondie du mouvement brownien dans<\/p>\n

(d) J. L. DOOB, Conditional Brownian motion and boundary limits of harmonic functions, Bull. Soc. math. France, 85 (1957) pp. 431-458,<\/p>\n

et dans les m\u00e9moires ici mentionn\u00e9s. J'avais esp\u00e9r\u00e9 traiter des fonctionnelles multiplicatives (et additives) et des transformations de processus de Markov, dont les deux constructions du \u00a7 12 F n\u2019offrent que des exemples \u00e9l\u00e9mentaires. On peut consulter le livre de Dynkin ou, mieux,<\/p>\n

(e) P. A. MEYER, Fonctionnelles additives et multiplicatives de Markov, Ann. Inst. Fourier, 12 (1962) pp. 125-230.<\/p>\n

(f) E. B. DYNKIN, Transformation of Markov processes connected with additive functionals, Proc. 4\u00b0 Berkeley Symp. Stat. Prob. (1960) vol. 2, pp. 117-142.<\/p>\n

Les th\u00e9or\u00e8mes sur l\u2019existence et sur les propri\u00e9t\u00e9s de processus de Markov sont d\u00e9montr\u00e9s dans le livre :<\/p>\n

(g) E. B. DYNKIN, Th\u00e9orie des processus de Markov (Dunod ed.)
\nsans aide de martingales, et avec grande attention port\u00e9e aux hypoth\u00e8ses. Le m\u00e9moire<\/p>\n

(h) D. RAY, Resolvents, transition functions and strongly Markovian processes, Ann. Math., 70 (1959), pp. 43-72,<\/p>\n

montre que, partant seulement d\u2019une fonction de transition sur un espace de phase abstrait, on peut d\u00e9finir un espace topologique et d\u00e9montrer la plupart des th\u00e9or\u00e8mes du \u00a712, on pourrait peut-\u00eatre pousser plus loin l\u2019id\u00e9e. Enfin, P. A. MEYER est en train d\u2019\u00e9crire une monographie sur les martingales, les processus de Markov, les fonctionnelles additives et multiplicatives et les potentiels, qui sera sans doute le meilleur des expos\u00e9s de ces sujets (NDLR: Probabilit\u00e9s et potentiel, publi\u00e9 par Meyer en 1966, a ensuite \u00e9t\u00e9 refondu et d\u00e9velopp\u00e9 avec Claude Dellacherie \u00e0 partir de 1975). Le probl\u00e8me de construire une fonction de transition \u00e0 l\u2019aide d\u2019un op\u00e9rateur donn\u00e9 (\u00e0 l\u2019aide par exemple, du laplacien sur un ouvert de $R^k$) a conduit W. FELLER \u00e0 une th\u00e9orie de fronti\u00e8res un peu diff\u00e9rente de celle de Doob. On trouvera des renvois en (h) et dans le livre:<\/p>\n

(i) K. L. CHUNG, Markov chains with stationary transition probabilities (Springer ed.).\n<\/p><\/blockquote>\n

\nLectures.<\/strong>\n<\/p>\n