{"id":11695,"date":"2019-10-28T15:16:50","date_gmt":"2019-10-28T14:16:50","guid":{"rendered":"http:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/?p=11695"},"modified":"2023-01-13T18:50:13","modified_gmt":"2023-01-13T17:50:13","slug":"mouvement-brownien-et-calcul-stochastique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/2019\/10\/28\/mouvement-brownien-et-calcul-stochastique\/","title":{"rendered":"Mouvement brownien et calcul stochastique"},"content":{"rendered":"

\"Brownian<\/a>Un (modeste) cours de master d'introduction au calcul stochastique<\/a> m'a tr\u00e8s naturellement incit\u00e9 \u00e0 partager quelques textes historiques autour du mouvement brownien et du calcul stochastique : c'est ici<\/a>. Au fil de ces lectures, outre la richesse et la complexit\u00e9 du processus historique de cr\u00e9ation et de d\u00e9couverte, les personnages oubli\u00e9s, les coups de th\u00e9\u00e2tre, et la socio-psychologie des universitaires, il se dessine, en filigrane, au sujet des processus stochastiques, un foss\u00e9 grandissant entre une certaine physique statistique d'une part et la math\u00e9matisation des probabilit\u00e9s d'autre part. Cette divergence s'installe d\u00e8s les ann\u00e9es 1920 avec notamment les travaux de Norbert Wiener<\/a>, et culmine avec la construction structuraliste ou bourbakisante de la th\u00e9orie g\u00e9n\u00e9rale des processus des ann\u00e9es 1960-1980, qui enfantera les math\u00e9matiques financi\u00e8res modernes \u00e0 la Hans F\u00f6llmer<\/a> et Nicole El Karoui<\/a>. Il n'est jamais trop tard pour injecter un peu de polyculture dans nos formations. Du reste, Benoit Mandelbrot<\/a> l'a d\u00e9j\u00e0 dit \u00e0 sa fa\u00e7on.<\/p>\n

\u201cOn ne peut non plus fixer une tangente, m\u00eame de fa\u00e7on approch\u00e9e, \u00e0 aucun point de la trajectoire, et c\u2019est un cas o\u00f9 il est vraiment naturel de penser \u00e0 ces fonctions continues sans d\u00e9riv\u00e9es que les math\u00e9maticiens ont imagin\u00e9es, et que l\u2019on regarderait \u00e0 tort comme de simples curiosit\u00e9s math\u00e9matiques, puisque la nature les sugg\u00e8re aussi bien que les fonctions \u00e0 d\u00e9riv\u00e9e.<\/em>\u201d In Jean Perrin<\/a> (1870 - 1942), Les Atomes (1913), Chapitre 4, partie 68<\/a>.<\/p>\n

\u201cUhlenbeck\u2019s attitude to Wiener\u2019s work was brutally pragmatic and it is summarized at the end of footnote 9 in his paper (written jointly with Ming Chen Wang) \u201cOn the Theory of Brownian Motion II\u201d (1945): the authors are aware of the fact that in the mathematical literature, especially in papers by N. Wiener, J. L Doob, and others [cf. for instance Doob (Annals of Mathematics 43, 351 1942) also for further references], the notion of a random (or stochastic) process has been defined in a much more refined way. This allows [us], for instance, to determine in certain cases the probability that the random function y(t) is of bounded variation or continuous or differentiable, etc. However it seems to us that these investigations have not helped in the solution of problems of direct physical interest and we will therefore not try to give an account of them.<\/em>\u201d In Mark Kac (1914 \u2013 1984)<\/a> about George Uhlenbeck<\/a> (1900 -- 1988) in Enigmas of Chance : an autobiography<\/em> (1984)<\/a>.<\/p>\n

\u201c... Ainsi l\u2019int\u00e9grale et les processus d\u2019It\u00f4, lointains descendants de la th\u00e9orie de la sp\u00e9culation de Bachelier, retournent \u00e0 la sp\u00e9culation financi\u00e8re. Ils m\u00e9ritent \u00e0 tous \u00e9gards d\u2019\u00eatre int\u00e9gr\u00e9s dans la culture g\u00e9n\u00e9rale des math\u00e9maticiens.<\/em>\u201d In Jean-Pierre Kahane<\/a>, Le mouvement brownien. Un essai sur les origines de la th\u00e9orie math\u00e9matique<\/em>, Soci\u00e9t\u00e9 Math\u00e9matique de France, 1998<\/a>.<\/p>\n

C\u00e9l\u00e9brit\u00e9s.<\/strong> Le physicien George Uhlenbeck<\/a> est le beau p\u00e8re de la math\u00e9maticienne Karen Uhlenbeck<\/a>. Le physicien Leonard Ornstein<\/a>, co-auteur de George Uhlenbeck, ne semble pas \u00eatre li\u00e9 au math\u00e9maticien Donald Ornstein<\/a> expert en th\u00e9orie ergodique.<\/p>\n

Bachelier.<\/strong> J'ai longtemps pens\u00e9 que l'importance tardive accord\u00e9e par certains \u00e0 Louis Bachelier<\/a> \u00e9tait exag\u00e9r\u00e9e car il n'avait pas eu d'impact scientifique en son temps, malgr\u00e9 qu'il ait \u00e9t\u00e9 l'un des premiers \u00e0 identifier la structure math\u00e9matique du mouvement Brownien dans le monde physique. Mes lectures m'ont fait d\u00e9couvrir une r\u00e9alit\u00e9 historique plus contrast\u00e9e. Sur les conseils d'Henri Poincar\u00e9<\/a>, Louis Bachelier a publi\u00e9 ses r\u00e9sultats, et ces publications ont \u00e9t\u00e9 lues et appr\u00e9ci\u00e9es par Andre\u00ef Kolmogorov<\/a> et Kiyoshi It\u00f4<\/a>.<\/p>\n

Post-scriptum.<\/strong> \u00c0 propos de finance quantitative, connaissez-vous cet interview<\/a>?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un (modeste) cours de master d'introduction au calcul stochastique m'a très naturellement incité à partager quelques textes historiques autour du mouvement brownien et du calcul…<\/p>\n

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