{"id":10478,"date":"2018-07-09T09:52:53","date_gmt":"2018-07-09T07:52:53","guid":{"rendered":"http:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/?p=10478"},"modified":"2019-02-02T09:48:09","modified_gmt":"2019-02-02T08:48:09","slug":"mathematiques-de-laleatoire-et-physique-statistique","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/djalil.chafai.net\/blog\/2018\/07\/09\/mathematiques-de-laleatoire-et-physique-statistique\/","title":{"rendered":"Math\u00e9matiques de l'al\u00e9atoire et physique statistique"},"content":{"rendered":"
\"Adolphe<\/a>
Adolphe Quetelet (1796 - 1874) Grand diffuseur des m\u00e9thodes statistiques dans les sciences<\/figcaption><\/figure>\n

Ce billet constitue la version pr\u00e9liminaire d'un petit texte (10000 caract\u00e8res) de contribution \u00e0 un volume sp\u00e9cial \u00e9dit\u00e9 pour les cinquante ans de l'universit\u00e9 Paris-Dauphine<\/a>. Le\u00a0texte est en partie inspir\u00e9 d'un billet de blog pr\u00e9c\u00e9dent intitul\u00e9\u00a0\u00abMathematiques, probabilites, algorithmes<\/a>\u00bb.<\/em><\/p>\n

Les math\u00e9matiques se sont construites au fil du temps \u00e0 partir de pr\u00e9occupations concr\u00e8tes li\u00e9es notamment \u00e0 la mesure et au partage. Elles sont directement issues de notre appr\u00e9hension logique et quantitative du monde physique. De nos jours, elles forment un immense corpus fait de concepts \u00e9pur\u00e9s et de m\u00e9thodes de pens\u00e9e. Elles ont acquis une autonomie intellectuelle et constituent d\u00e9sormais un monde parall\u00e8le au monde physique, un monde logique et imag\u00e9, au langage universel, explor\u00e9 par les math\u00e9maticiens du monde entier. Les math\u00e9matiques constituent \u00e9galement le langage, efficace, de la physique, tandis que la physique continue de les nourrir et de les questionner vigoureusement. Les math\u00e9matiques comportent d'autre part un pan algorithmique puissant appel\u00e9 informatique, dont l'importance concr\u00e8te est de plus en plus marqu\u00e9e. Les math\u00e9matiques sont enfin connect\u00e9es, plus g\u00e9n\u00e9ralement, bien au-del\u00e0 de la physique, par la quantification et la mod\u00e9lisation, \u00e0 toutes les sciences du monde physique : biologie, chimie, sciences humaines, sciences sociales.<\/p>\n

Les succ\u00e8s concrets ou utilitaires des math\u00e9matiques tiennent beaucoup \u00e0 des mod\u00e9lisations m\u00e9canistes simples, accessibles au calcul et aux algorithmes, et capables de produire des pr\u00e9dictions. La th\u00e9orie de la gravitation, la th\u00e9orie de la relativit\u00e9, et la th\u00e9orie de l'information en sont des exemples embl\u00e9matiques qui ont r\u00e9volutionn\u00e9 notre quotidien, souvent \u00e0 notre insu.<\/p>\n

Les ph\u00e9nom\u00e8nes de nature al\u00e9atoire ou statistique ont longtemps r\u00e9sist\u00e9 aux tentatives de math\u00e9matisation. Pour certains grands esprits m\u00e9canistes de la fin du dix-huiti\u00e8me si\u00e8cle comme Pierre-Simon de Laplace<\/a>, le hasard n'est que l'expression de notre ignorance des causes. Lorsque l'on lance une pi\u00e8ce de monnaie, le r\u00e9sultat final, pile ou face, reste difficile \u00e0 pr\u00e9voir car nous connaissons mal les conditions initiales du lancer, ce qui emp\u00eache d'exploiter le caract\u00e8re pr\u00e9visible de la trajectoire. Tout se passe comme si l'incertitude sur la condition initiale se propageait le long de la trajectoire. Lorsqu'une pierre d\u00e9vale le flanc d'une montagne \u00e0 partir de son sommet, sa position finale, au bas de la montagne, est difficile \u00e0 pr\u00e9voir car non seulement les conditions initiales sont mal connues, mais aussi parce que les irr\u00e9gularit\u00e9s du terrain, dont on ignore le d\u00e9tail, provoquent un tr\u00e8s grand nombre de chocs successifs qui d\u00e9vient sa trajectoire. Des ph\u00e9nom\u00e8nes similaires sont \u00e0 l'\u0153uvre dans la plupart des ph\u00e9nom\u00e8nes naturels complexes, comme par exemple l'\u00e9volution des esp\u00e8ces, la g\u00e9n\u00e9tique, la d\u00e9mographie, le cours des actifs financiers, les mouvements de foule, etc.<\/p>\n

La m\u00e9canique du hasard, tapie sous le d\u00e9sordre apparent, a finalement \u00e9t\u00e9 d\u00e9couverte par petites touches successives. Cela d\u00e9bute sans doute d\u00e8s le dix-septi\u00e8me si\u00e8cle avec l'\u00e9tude des jeux de d\u00e9s et de cartes, mais aussi avec l'\u00e9tude des statistiques en sciences humaines et sociales. Les grandes figures de cette \u00e9poque sont entre autres Pierre de Fermat<\/a>, Thomas Bayes<\/a>, Abraham de Moivre<\/a>, Jacques Bernoulli<\/a>, et Pierre-Simon de Laplace<\/a>. Cela se poursuit ensuite tout le long du dix-neuvi\u00e8me si\u00e8cle avec notamment l'\u00e9tude des m\u00e9canismes de l'\u00e9volution des esp\u00e8ces de Charles Darwin<\/a>, de la statistique humaine et sociale d'Adolphe Qu\u00e9telet<\/a>, de la th\u00e9orie cin\u00e9tique des gaz et de la m\u00e9canique statistique de James Maxwell<\/a>, Ludwig Boltzmann<\/a>, et Willard Gibbs<\/a>, et de la g\u00e9n\u00e9tique des populations de Gregor Mendel<\/a>.<\/p>\n

Un concept important de cette m\u00e9canisation est le suivant : plut\u00f4t que de chercher \u00e0 d\u00e9crire l'\u00e9volution d'un seul syst\u00e8me complexe, il est fructueux de consid\u00e9rer l'\u00e9volution de la distribution statistique de syst\u00e8mes complexes du m\u00eame type. Bien souvent, l'\u00e9volution de la description statistique du hasard n'est plus hasardeuse et ob\u00e9it \u00e0 une loi d\u00e9termin\u00e9e. Si au lieu d'\u00e9tudier la chute d'une seule pierre de la montagne, nous analysons un grand nombre de pierres, nous voyons appara\u00eetre l'\u00e9volution de la distribution de la position le long des trajectoires. C'est cette distribution et son \u00e9volution qui deviennent d\u00e9termin\u00e9es et qui permettent de fabriquer des intervalles de pr\u00e9diction pour la position. Cette approche s'applique aussi bien au probl\u00e8me de la particule de poussi\u00e8re dans un liquide qu'\u00e0 celui des actifs financiers mentionn\u00e9s pr\u00e9c\u00e9demment, \u00e9tudi\u00e9s sous cet angle par Albert Einstein<\/a>, Marian Smoluchowski<\/a>, et Louis Bachelier<\/a> notamment, au tout d\u00e9but du vingti\u00e8me si\u00e8cle.<\/p>\n

Le vingti\u00e8me si\u00e8cle est aussi le si\u00e8cle de la m\u00e9canique quantique de Max Planck<\/a>,\u00a0Werner Heisenberg<\/a>,\u00a0Louis de Broglie<\/a>, et Erwin Schr\u00f6dinger<\/a>, profond\u00e9ment probabiliste, le si\u00e8cle de la th\u00e9orie de l'information de Claude Shannon<\/a>, tout aussi probabiliste, qui a r\u00e9volutionn\u00e9 la communication et l'informatique, et aussi le si\u00e8cle de la math\u00e9matisation rigoureuse des probabilit\u00e9s et de la statistique, avec notamment Ronald Fisher<\/a>, Andre\u00ef Markov<\/a>, Andre\u00ef Kolmogorov<\/a>, Joseph Doob<\/a>, Kiyoshi It\u014d<\/a>, Paul L\u00e9vy<\/a>, et tant d'autres, peu connus du grand public.<\/p>\n

La position finale de la pierre qui d\u00e9vale la montagne est en quelque sorte une superposition d'un grand nombre de d\u00e9viations d\u00e9sordonn\u00e9es. Il en va de m\u00eame pour la position d'une particule de poussi\u00e8re dans un liquide qui subit un grand nombre de chocs dus aux mol\u00e9cules du liquide, ou pour la valeur d'un actif financier qui subit un grand nombre d'achats ou de ventes. La physique statistique a pr\u00e9cis\u00e9ment pour objet l'\u00e9tude de tels syst\u00e8mes complexes constitu\u00e9s d'un grand nombre de constituants plus simples. Il s'agit en un sens de la science des syst\u00e8mes d\u00e9sordonn\u00e9s ou critiques, de leurs fluctuations et de leurs ph\u00e9nom\u00e8nes de seuil ou transitions de phase. La physique statistique se serait peut-\u00eatre appel\u00e9e aujourd'hui physique stochastique ou physique al\u00e9atoire ou tout simplement physique des syst\u00e8mes d\u00e9sordonn\u00e9s. Elle constitue le versant physique de la math\u00e9matisation du hasard, et utilise les m\u00eames outils et concepts math\u00e9matiques que la th\u00e9orie des probabilit\u00e9s et de la statistique.<\/p>\n

Les math\u00e9matiques font partie des disciplines fondatrices de l'universit\u00e9 Paris-Dauphine<\/a>, \u00e9tablissement centr\u00e9 autour des organisations et de la d\u00e9cision. L'\u00e9tude des syst\u00e8mes complexes y occupe une place naturelle et importante. Les math\u00e9maticiens probabilistes du centre d'enseignement et de recherche en math\u00e9matiques de la d\u00e9cision (CEREMADE<\/a>) sont pour beaucoup d'entre eux vers\u00e9s en physique statistique. Il y a dans leurs travaux une unit\u00e9 de m\u00e9thodes et une vari\u00e9t\u00e9 de mod\u00e8les. La th\u00e9orie des grandes d\u00e9viations, par exemple, peut \u00eatre utilis\u00e9e pour quantifier des probabilit\u00e9s d'\u00e9v\u00e9nements rares ou exceptionnels dans les syst\u00e8mes d\u00e9sordonn\u00e9s complexes, quelle qu'en soit la nature, pourvu qu'ils soient justiciables de la m\u00eame mod\u00e9lisation. Ainsi un probl\u00e8me de biologie des populations peut ressembler \u00e0 un probl\u00e8me d'\u00e9conomie, quand ils ont la m\u00eame physique, et \u00eatre abord\u00e9s avec les m\u00eames outils. Il en va de m\u00eame de la th\u00e9orie des matrices al\u00e9atoires, de la th\u00e9orie des processus stochastiques, etc. C'est l\u00e0 une force des math\u00e9matiques : l'identification de structures communes dans des situations concr\u00e8tes d'apparences diff\u00e9rentes.<\/p>\n

La pr\u00e9sence d'une certaine physique math\u00e9matique au CEREMADE peut surprendre les esprits pour qui une universit\u00e9 comme Paris-Dauphine, centr\u00e9e sur les organisations et sur la d\u00e9cision, est de fait \u00e9loign\u00e9e de la physique. C'est mal comprendre la nature m\u00eame des math\u00e9matiques et de la math\u00e9matisation du monde. Il y a en effet une physique des algorithmes, une physique de l'\u00e9conomie, une physique des organisations, une physique des r\u00e9seaux, etc, bref une physique des syst\u00e8mes complexes. Lorsque ces syst\u00e8mes complexes sont d\u00e9sordonn\u00e9s, il s'agit naturellement de physique statistique, tout simplement. \u00c0 titre d'exemple, la physique de la finance a donn\u00e9 lieu \u00e0 ce qu'on appelle parfois l'\u00e9conophysique<\/a>, qui conna\u00eet un certain succ\u00e8s dans le monde avec par exemple James Simons<\/a>, Edward Thorp<\/a>, Doyne Farmer<\/a>, ou Jean-Philippe Bouchaud<\/a>.<\/p>\n

Se priver de la physique statistique reviendrait \u00e0 se priver d'un pan important et pertinent de la mod\u00e9lisation math\u00e9matique des syst\u00e8mes complexes d\u00e9sordonn\u00e9s. Bien entendu, cette physique est une physique conceptuelle, math\u00e9matique, dont le caract\u00e8re exp\u00e9rimental peut passer par des simulations num\u00e9riques sur ordinateur sans n\u00e9cessiter de laboratoire d'exp\u00e9rimentation.<\/p>\n

La recherche autour des math\u00e9matiques de l'al\u00e9atoire au CEREMADE ne se r\u00e9sume pas \u00e0 de la physique statistique. Cette derni\u00e8re ne constitue qu'un courant culturel important qui irrigue les recherches, notamment celles des probabilistes. Parmi les recherches les plus fructueuses men\u00e9es dans ce courant, on peut citer notamment les travaux autour de la fluctuation des processus de Markov et de leur comportement en temps long, autour des m\u00e9thodes de Monte-Carlo pour la simulation num\u00e9rique, autour des cascades multiplicatives et de la th\u00e9orie quantique des champs, autour des marches al\u00e9atoires en environnement al\u00e9atoire et\/ou en paysage al\u00e9atoire, autour des polym\u00e8res, autour des spectres de grandes matrices et grands graphes al\u00e9atoires, des syst\u00e8mes de particules en interaction de type champ moyen, etc. Les travaux men\u00e9s au CEREMADE par le physicien et math\u00e9maticien Massimiliano Gubinelli<\/a> autour de l'analyse des trajectoires al\u00e9atoires rugueuses, pr\u00e9curseurs de ceux de Martin Hairer<\/a>, m\u00e9daill\u00e9 Fields 2014, m\u00e9ritent sans doute une mention sp\u00e9ciale.<\/p>\n

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Ce billet constitue la version préliminaire d'un petit texte (10000 caractères) de contribution à un volume spécial édité pour les cinquante ans de l'université Paris-Dauphine.…<\/p>\n

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