# Libres pensées d'un mathématicien ordinaire Posts

It is amazing to realize how complex things in Mathematics and in Computer Science can be reduced after all to 0 and 1, in other words, to the simple notion of difference… Is it beautiful or disappointing? Well, maybe both! Any resemblance to actual events is coincidental. In fact, and to be more precise, we must say sequences of 0 and 1, making then more apparent the role of ∞. In a way, Computer Science is the reign of finite sequences of 0 and 1 while Mathematics is the reign of infinite sequences of 0 and 1, in other words, the reign of ∞. Between the two, you may take a look at the concepts of Turing machines and Kolmogorov complexity. You may also take a look at Peano axioms and Gödel’s incompleteness theorems. In Probability Theory, the modelling of the Heads-or-Tails coin-tossing game involves a probability measure on {0,1}, the set of infinite sequences of 0 and 1. It has been shown recently that in a sense, almost all large statements are indecidable, see for instance

Imagine that in the year 2050, a Fields medal is awarded to a woman for her refoundation of statistics and its amazing implications in other sciences. Statistics is a subfield of mathematics which is not well considered by most mathematicians. A consequence is a general lack of statistical culture for the average mathematician, and also the massive presence of women in statistics (they avoid the competition with males by doing so). I encourage young mathematicians to open their mind, to learn the problems and concepts of statistics, and to teach statistics. By this way, they will find a job more easily, and they will improve the relationships between mathematics and the real world. There are no boundaries inside mathematics. The limits are in mathematicians minds, not in mathematics. So be curious! Impressive examples are given by Persi Diaconis and Terence Tao.

Quelques réflexions synthétiques sur la réforme des universités françaises :

• Pour fonctionner, l’ascenseur social méritocratique a besoin d’élitisme et d’égalitarisme
• La réforme Pécresse s’attaque peu aux tares structurelles de l’enseignement supérieur
• Les ingénieurs français sont issus de grandes écoles et ignorent tout de la recherche
• Déplacer les prépas, avec leur moyens, des lycées vers les universités dans un L repensé
• Remplacer la sélection darwinienne au rabais du L par une véritable sélection à l’entrée du M
• Unifier le statut des universités et des grandes écoles, et mieux financer les universités
• Augmenter le nombre de supports IUF pour encourager les chercheurs de bon niveau
• Remplacer les emplois précaires (hors ATER) à l’université par des supports PRAG
• Développer les systèmes de bourses et de prêts étudiants (public ou semipublic)
• Remplacer la liberté d’inscription quelque soit le bac par des parcours à passerelles
• Mettre en place une évaluation des enseignements et des enseignants
• Rendre les conseils scientifiques et pédagogiques seuls maîtres du recrutement de leurs pairs
• Dans la même veine, la pétition Refonder l’université (mai 2009)
• “If you think education is expensive, try ignoranceBok Derek
• The reasonable man adapts himself to the world; the unreasonable one persists in trying to adapt the world to himself. Therefore, all progress depends on the unreasonable man.George Bernard Shaw

Un frein à ces propositions est constitué par les rétrogrades et conservateurs de droite et de gauche. Certains préfèreraient que l’état se désengage de l’Université et soit remplacé par des capitaux privés, tandis que d’autres, enseignants et/ou chercheurs à l’Université, refusent la sélection à l’Université, mais font tout pour que leurs enfants empruntent les filières sélectives hors Universités.  Les filières sélectives sont complexes et ne jouent plus leur rôle de promotion sociale. Elles sont surtout pleines d’enfants d’enseignants qui connaissent les ficelles du système. Ce qui est proposé ici est totalement différent, et ressemble à ce qui existe dans certains pays plus avancés.

Le bazar schizophrène qui règne en France est unique au monde. On pourrait rêver mieux en matière d’exception culturelle et sociale. Dans la plupart des pays, développés ou non, l’essentiel de l’enseignement et de la recherche après l’équivalent du bac se trouve dans les Universités. Certaines sont plus prestigieuses que d’autres. Elles pratiquent toutes une sélection à un moment ou à un autre dans les parcours. Sélectionner ne signifie pas exclure du système.

J’affirme que l’élitisme et la promotion sociale doit se trouver à l’Université, et que les grandes écoles doivent devenir des Universités. Les classes préparatoires gagneraient à quitter les lycées et à être absorbées par les Universités, en conservant leurs moyens. La mentalité des ingénieurs français en serait transformée. Un certain nombre des enseignants des classes préparatoires constituent une sorte de bourgoisie des lycées, et gagneraient à s’ouvrir l’esprit. L’esprit de la recherche est celui du questionnement et de la curiosité. Parallèlement, nombreux sont les enseignants des classes préparatoires qui souhaiteraient poursuivre une activité de recherche, mais qui ne le font pas, par manque d’environnement propice et de prise en compte dans leur évaluation.  Former les  ingénieurs dans les universités permettrait également de marginaliser la méfiance voire la diabolisation de l’industrie et des entreprises par un certain nombre d’universitaires étroits d’esprit.

Les discussions que j’ai avec des collègues chercheurs et enseignants me montrent à quel point les mentalités sont difficles à changer sur ces questions. J’ai cru cerner chez certains une peur du changement vécu comme menaçant un capital social, un refus parfois bigot de remise en question d’un idéal utopique, et surtout une fidélité au système qui les a produit. Cette forme de gauchisme petit bourgeois est pathétique. Mais où sont donc passés les intellectuels français ?  Si la gauche se replie sur elle même et ne fait plus preuve d’imagination, c’est la droite qui vaincra durablement.   L’attitude majoritaire des universitaires face à la réforme Pécresse fut contre productive. S’il faut choisir entre inquisition et contre réforme, je choisirais toujours la contre réforme.

J’ose espérer qu’un audacieux ministre de l’éducation nationale osera un jour, avec vigueur mais dans la concertation, s’attaquer à ces vrais problèmes français.

Les mathématiciens ont un rapport fort à l’absolu. C’est à la fois leur force et leur faiblesse.

Intéressons nous au processus de publication en mathématiques de niveau recherche.

Le circuit type d’un article de mathématiques à l’heure actuelle est le suivant :

• L’auteur dépose parfois son article sur un serveur de pré-publications comme arXiv/HAL
• L’auteur soumet l’article pour publication dans une revue scientifique
• Le comité éditorial de la revue désigne des rapporteurs anonymes
• Lorsque les rapporteurs et le comité éditorial sont favorables, l’article est accepté pour publication. Cette décision peut intervenir parfois plus d’un an après la soumission. L’auteur peut être conduit à modifier son article suite aux commentaires des rapporteurs
• En cas d’acceptation, l’article est publié officiellement dans la revue, parfois plus d’un an après l’acceptation. En cas de rejet, l’auteur peut soumettre son article à une autre revue
• Le prestige de la revue constitue une sorte de label de qualité apposé sur l’article. En choisissant la revue où il envisage de soumettre, l’auteur a sollicité un label
• Parfois la revue ou l’auteur met à jour la version sur arXiv/HAL en conformité avec celle qui est publiée

Ce système souffre de plusieurs problèmes :

• Le processus est lent et surtout statique, et l’accès parfois payant. Cela semble archaïque à l’heure des réseaux planétaires. Ainsi, de plus en plus de chercheurs se contentent de consulter les versions électroniques déposées sur les serveurs de pré-publications comme arXiv/HAL sans consulter la version publiée. Certains mathématiciens, parfois célèbres, ne déposent leurs meilleures œuvres que sur ces serveurs, sans les soumettre pour publication dans une revue. D’autres, parfois tout aussi célèbres, ne déposent jamais leurs articles sur ces serveurs. La lenteur du processus classique n’est pas forcément néfaste au contenu, mais l’existence du circuit parallèle ne la rend-elle pas discutable voire inutile ?
• Les modes et les favoritismes font que les articles publiés ne sont pas toujours de bonne qualité, et que les articles refusés ne sont pas toujours de mauvaise qualité. Il règne là un arbitraire qui tient plus de la loterie et de la comédie humaine que de l’idéal scientifique. L’Histoire est riche d’exemples célèbres
• Le mythe qui veut qu’un article publié soit vrai ne serait-il pas tout bonnement faux ? Ce sont les mathématiques mortes issues d’une lente digestion collective qui sont vraies. Ces mathématiques mortes constituent le distillat des mathématiques vivantes. Les mathématiques vivantes sont bouillonnantes et créatives. Peut-on vraiment croire qu’un processus éditorial peut en affirmer la véracité absolue et la pertinence au long terme ? S’il s’agit d’accumuler la vérité et de corriger les erreurs, ne pourrait-on pas imaginer un autre système plus en phase avec la société actuelle ?
• Les articles publiés ne sont pas modifiables, et pas commentables sauf par de nouveaux articles. Faut-il s’accommoder d’un système statique et lent à cause de sa prétention illusoire à la vérification pour l’éternité ? Ne pourrait-on pas imaginer un mécanisme tenant compte de manière dynamique des erreurs décelées au cours du temps ? La vérité n’en sortirait-elle pas gagnante ?
• Certaines revues prestigieuses sont la propriété de grands groupes d’édition mercantiles alors même que le travail du comité éditorial, des rapporteurs, et des auteurs n’est pas rémunéré. Pourtant, l’abonnement à ces revues coûte cher aux organismes de recherche. Sans vouloir diaboliser le secteur privé, ne peut-on pas préférer que ces titres prestigieux soient la propriété des universitaires, qui auraient alors la liberté de sous-traiter le processus de publication selon leurs propres conditions ?

Certains pensent que le système actuel a subi une dérive malhonnête ces dernières années, et que les articles publiés aujourd’hui ne sont plus ce qu’ils étaient car les rapporteurs ne font plus leur travail correctement. Mais cela ne relève-t-il pas d’une glorification du passé et d’une idéalisation de la vérification ? Les erreurs en mathématiques sont aussi anciennes que les mathématiciens, et l’Histoire regorge d’exemples parfois fort célèbres. Un article publié suite à une relecture méticuleuse par plusieurs rapporteurs peut s’avérer être faux. Pire, avec le système actuel, il le restera.

Depuis la fin des années 1990, beaucoup de mathématiciens déposent une version électronique de leurs articles sur des serveurs de pré-publications comme arXiv/HAL. Ces serveurs assurent une diffusion rapide et sans restrictions. Ils assurent également l’antériorité, et un archivage du savoir scientifique. Ils permettent des mises à jour avec mémoire des versions successives. Ils attribuent à chaque version d’un article un numéro d’identification unique, universel, et permanent. Ces serveurs sont gratuitement consultables mais ont un coût, supporté à l’heure actuelle directement par quelques organismes de recherche. Ils sont la propriété du monde universitaire. Le coût pourrait être mutualisé à l’avenir. À l’heure actuelle, le dépôt sur ces serveurs n’est soumis à aucun processus de relecture par les pairs.

Un article publié dans une revue de bonne réputation bénéficie d’une sorte de label, dont le comité éditorial de la revue est le garant. Le prestige de l’article dépend également de la manière dont les autres articles le citent, mais aussi de ce qu’en pensent les universitaires (savoir oral rarement écrit mais connu de tous dans chaque domaine). Ces deux aspects sont importants. À l’avenir, on pourrait imaginer que chaque article sur arXiv/HAL puisse disposer d’une page de commentaires collaboratifs comme sur WikiPédia, et que les lecteurs puissent attribuer une appréciation ou une note, en plus de commentaires éventuels. Des erreurs décelées dans un article des années après son dépôt pourraient ainsi être clairement mentionnées, immédiatement, au bon endroit. Idem pour les références tardives aux travaux antérieurs. Des comités éditoriaux par section pourraient attribuer également un label aux articles, plutôt que de perdre leur temps à travailler pour des revues archaïques. C’est ce que fait déjà en substance une revue comme the Annals of Probability en réalité (ainsi que d’autres revues de l’IMS), même si les articles qu’elle publie deviennent statiques malheureusement. C’est un bon début.

La généralisation de ce simple mécanisme constituerait une véritable révolution, tout à fait dans l’air du temps. On pourrait imaginer également que chaque mathématicien ait un blog en interconnexion avec ces serveurs, voire même intégré à ces serveurs. Terence Tao fait partie des précurseurs en la matière. Une autre révolution qui pourrait être utile est celle qui remplacerait l’antique (La)TeX par un système plus souple et léger, peut-être basé sur MathML/XML. Nous avons besoin du prochain Donald Knuth ! Plutôt que de s’opposer à la société de l’information, pourquoi ne pas tirer profit de toutes les possibilités qu’elle peut offrir ?

En attendant la révolution, il est possible de déposer systématiquement ses articles dans leur version publiée sur arXiv/HAL. Cela rend moins important le caractère payant ou non de la revue où ils sont publiés. Cela n’est pas parfait car les revues mercantiles subsistent. Ceux qui ont le sens de l’absolu iront jusqu’à éviter de publier dans les revues mercantiles, et refuseront de faire partie de leurs comités éditoriaux, ou d’officier en tant que rapporteur anonyme. Sont-ils si nombreux, ces mathématiciens de l’absolu ?

Un danger possible du système alternatif imaginé précédemment réside dans son éventuelle moindre résistance aux tricheurs et malhonnêtes. Mais ferait-il pire que le système traditionnel, ou mieux ?

Ne faudrait-il pas cesser de penser un article comme quelque chose de statique ? Dans un monde de l’information et de la désinformation, l’organisation de la confiance est capitable. Les technologies actuelles offrent des outils. Pourquoi ne pas les utiliser ? En quoi les mathématiques sont spécifiques ? À ce sujet, la lecture du texte de Paul Ginsparg est très intéressante (j’ai découvert ce texte sur arXiv après avoir écrit le mien).

Personnellement, j’ai toujours déposé sur arXiv/HAL (à une exception près) une version de mes articles semblable à celle publiée. Il m’est également arrivé de déposer sur ces serveurs un article jamais soumis pour publication, mais cité par des articles publiés par d’autres… Lorsque j’écris un rapport anonyme sur un article pour une revue traditionnelle, je fais de mon mieux pour comprendre les résultats et les preuves, mais je considère que l’auteur est responsable de ce qu’il écrit. Je ne me berce pas d’illusions sur la véracité absolue. Je perçois mon rôle comme celui d’un donneur d’avis plutôt que comme celui d’une machine à vérifier. L’idée de rendre public le nom des rapporteurs pour les articles acceptés ne me choque pas, bien au contraire. Il m’est arrivé de déceler des erreurs dans mes propres articles, et même de retirer l’article du processus pour pouvoir fournir une version correcte quelques temps plus tard. Il m’est aussi arrivé de trouver des erreurs rédhibitoires dans des articles publiés d’auteurs célèbres, qui n’ont jamais écrit de correctif. Le résultat était faux. Cela ne signifie pas que les rapporteurs ont baclé leur travail car l’erreur est humaine. Le système ne serait-il pas plus honnête si ces articles étaient commentables comme imaginé précédemment et les erreurs clairement signalées à tous et par tous ? Le but des scientifiques n’est-il pas d’œuvrer à la création et à la diffusion de la science et du savoir ?

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