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Month: October 2019

Mouvement brownien et calcul stochastique

Brownian MotionUn (modeste) cours de master d’introduction au calcul stochastique m’a très naturellement incité à partager quelques textes historiques autour du mouvement brownien et du calcul stochastique : c’est ici. Au fil de ces lectures, outre la richesse et la complexité du processus historique de création et de découverte, les personnages oubliés, les coups de théâtre, et la socio-psychologie des universitaires, il se dessine, en filigrane, au sujet des processus stochastiques, un fossé grandissant entre une certaine physique statistique d’une part et la mathématisation des probabilités d’autre part. Cette divergence s’installe dès les années 1920 avec notamment les travaux de Norbert Wiener, et culmine avec la construction structuraliste ou bourbakisante de la théorie générale des processus des années 1960-1980, qui enfantera les mathématiques financières modernes à la Hans Föllmer et Nicole El Karoui. Il n’est jamais trop tard pour injecter un peu de polyculture dans nos formations. Du reste, Benoit Mandelbrot l’a déjà dit à sa façon.

Uhlenbeck’s attitude to Wiener’s work was brutally pragmatic and it is summarized at the end of footnote 9 in his paper (written jointly with Ming Chen Wang) “On the Theory of Brownian Motion II” (1945): the authors are aware of the fact that in the mathematical literature, especially in papers by N. Wiener, J. L Doob, and others [cf. for instance Doob (Annals of Mathematics 43, 351 1942) also for further references], the notion of a random (or stochastic) process has been defined in a much more refined way. This allows [us], for instance, to determine in certain cases the probability that the random function y(t) is of bounded variation or continuous or differentiable, etc. However it seems to us that these investigations have not helped in the solution of problems of direct physical interest and we will therefore not try to give an account of them.” In Stanisław Ulam (1909 – 1984) about George Uhlenbeck in Adventures of a Mathematician (1984).

… Ainsi l’intégrale et les processus d’Itô, lointains descendants de la théorie de la spéculation de Bachelier, retournent à la spéculation financière. Ils méritent à tous égards d’être intégrés dans la culture générale des mathématiciens.” In Jean-Pierre Kahane, Le mouvement brownien. Un essai sur les origines de la théorie mathématique, Société Mathématique de France, 1998.

Post-scriptum. À propos de finance quantitative, connaissez-vous cet interview?

Célébrités. Le physicien George Uhlenbeck est le beau père de la mathématicienne Karen Uhlenbeck. Le physicien Leonard Ornstein, co-auteur de George Uhlenbeck et père du processus du même nom, n’est pas le mathématicien Donald Ornstein expert en théorie ergodique.

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Née dans le ciel et d’un coup de dés

Gustave Choquet (1915 - 2006)
Gustave Choquet (1915 – 2006)

Cet aspect probabiliste, que Brelot regrettait tant d’être arrivé trop tard pour maîtriser, est sans doute le plus bel exemple d’interaction féconde entre deux théories : La théorie du potentiel, née dans le ciel (Kepler 1618, Newton 1665) et la théorie des probabilités née d’un coup de dés (Pascal 1654), donc presque simultanément, devaient après trois siècles et des petits pas l’une vers l’autre (Wiener 1923, puis P. Lévy, Doob), prendre avec G. Hunt (1957) pleinement conscience que leurs parties les plus vivaces ne sont que deux faces complémentaires d’un même bel objet, et qu’on ne peut bien comprendre l’une sans connaître l’autre (le traité DellacherieP.A. Meyer veut en donner la preuve). Gustave Choquet (1915 — 2006), in La vie et l’œuvre de Marcel Brelot (1903 — 1987), Cahiers du séminaire d’histoire des mathématiques, Volume 11 (1990), p. 1-31.

Ce petit texte de Gustave Choquet a le mérite de mettre en avant les probabilités et Gilbert Hunt, mais passe sous silence l’électrostatique, de Charles-Augustin Coulomb, Carl Friedrich Gauss, Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, et Henri Poincaré, entre autres. La théorie (mathématique) du potentiel traite essentiellement des propriétés du laplacien et des fonctions (sur/sous)harmoniques. Cette théorie n’est plus vraiment enseignée de nos jours. Cela dit, beaucoup de mathématiciens finissent par tomber dessus, parfois même à leur insu. Certains de mes aînés n’en connaissaient parfois que des bribes, déconnectées de la physique et du fil historique. Qui se souvient aujourd’hui des contributions à la théorie du potentiel de Oliver Dimon KelloggCharles-Jean de la Vallée PoussinMarcel Brelot, Otto Frostman, et tant d’autres ? Gustave Choquet lui-même est en passe de disparaître des esprits et des bibliographies ! Le flux et le reflux des connaissances est décidément étonnant — une sorte de grande respiration collective.

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Professeurs et étudiants

Voici un passage du livre Le voyage de Thomas Platter (1595-1599), signalé par Michel Ledoux, sur la faculté de médecine de l’université de Montpellier vers 1595, pages 112-113 :

« À côté de nombreux autres « privilegiis », autrement dit libertés, dont jouit l’université, il en est un également qui est considérable et fort avantageux pour les étudiants : on ne peut pas verser à un professeur son traitement (qui se monte à deux cents couronnes françaises par an, soit six cents livres tournois) dans les chambres royales des comptes où ce salaire est ordonnancé, si le professeur n’amène pas avec lui quelques étudiants parmi lesquels un « consiliarius » ou conseiller, je veux dire un membre du conseil des étudiants (ce conseil estudiantin comprend quatre membres). À cette occasion, le « consiliarius » certifie au nom des étudiants que le professeur a fait son cours avec application et diligence. En outre, les professeurs doivent interrompre leur cours ou leurs discussions de séminaire à la demande des étudiants, dès lors que cela plaît ou déplaît à ceux-ci. En effet, aussitôt que les élèves se mettent à réclamer la fin du cours, ils commencent à taper des pieds, des plumes et des mains ; si le maître n’arrête pas tout de suite son débit verbal, ils poussent de tels clameurs qu’on ne s’entend plus. En conséquence le professeur doit, bien souvent contre son gré, cesser son discours et puis s’en aller. »

Un autre : « À la fin de chaque leçon, j’emmenais tout l’auditoire à la maison du pâtissier cuiseur de pâtés et je leur offrais, à mes frais, une collation matinale afin qu’ils fussent très assidus à m’écouter de manière à ce qu’ils puissent ensuite me donner leur attestation ».

Voilà de quoi mieux apprécier, et replacer dans une perspective historique, le sujet toujours actuel de l’évaluation des professeurs, et des pratiques qui peuvent en découler.

Dans un autre registre, « Qu’est-ce qu’un bon professeur » dans l’émission radiophonique Répliques.

Un dernier passage, plus franco-français : « Les salles ou auditoriums dans lesquels on donne les cours magistraux sont raccommodés de façon très laide, selon la coutume des collèges français. »

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