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Month: January 2019

Dauphine

Avenue de l’Impératrice, photographiée par Charles Marville en 1858.

L’université Paris-Dauphine doit son nom à sa proximité avec la porte Dauphine. Selon certains [1], cette porte doit son nom à l’avenue Dauphine. L’avenue Dauphine, ancienne voie des communes de Passy et de Neuilly, aurait été créée en 1826 en l’honneur de la dauphine de France, Marie-Thérèse, duchesse d’Angoulême (1778-1851). Son prolongement jusqu’au bois de Boulogne a été remanié en 1854 lors de la création de l’avenue de l’Impératrice (devenue avenue du bois en 1875, puis avenue Foch en 1929). Elle porte depuis 1864 le nom du maréchal Bugeaud (1784-1849).

[1] Auguste Doniol, Histoire du XVIe arrondissement de Paris (1902). BNF.

Selon d’autres sources [2], la porte Dauphine doit son nom à Marie-Antoinette, épouse du dauphin et futur Louis XVI, qui l’aurait fait édifier au bout de la rue de la Faisanderie, vers 1770, lorsqu’elle résidait au château de la Muette. Ce serait plutôt la porte qui aurait donné son nom à l’ancienne avenue ?

[2] Marquis de Rochegude, Promenade dans toutes les rues de Paris (1910). BNF.

Note. L’idée d’écrire ce billet m’est venue suite à la question pertinente d’une collègue nouvelle recrutée sur l’origine exacte du nom de la porte de Paris qui a donné son nom à l’université.

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Law of large numbers

This post is devoted to a quick proof of a version of the law of large numbers for random variables in $\mathrm{L}^2$ with non-negative partial sums. It does not require independence or same distribution. It is a variant of the famous one for independent random variables bounded in $\mathrm{L}^4$.

The statement. If $X_1,X_2,\ldots$ are $\mathrm{L}^2$ random variables on $(\Omega,\mathcal{A},\mathbb{P})$ such that $S_n:=X_1+\cdots+X_n\geq0$, $\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\mathbb{E}(S_n)=\ell\in\mathbb{R}$, and $\mathrm{Var}(S_n)=\mathcal{O}(n)$, then $$\lim_{n\to\infty}\frac{S_n}{n}=\ell\text{ almost surely}.$$

A proof. We have $$\mathbb{E}\Bigr(\sum_n\Bigr(\frac{S_{n^2}-\mathbb{E}(S_{n^2})}{n^2}\Bigr)^2\Bigr)=\sum_n\frac{\mathrm{Var}(S_{n^2})}{n^4}=\mathcal{O}\Bigr(\sum_n\frac{1}{n^2}\Bigr)<\infty.$$ It follows that $\sum_n\Bigr(\frac{S_{n^2}-\mathbb{E}(S_{n^2})}{n^2}\Bigr)^2<\infty$ almost surely, which implies that $\frac{S_{n^2}-\mathbb{E}(S_{n^2})}{n^2}\to0$ almost surely. This gives that $\frac{1}{n^2}S_{n^2}\to\ell$ almost surely. It remains to use the sandwich$$\frac{S_{n^2}}{n^2}\frac{n^2}{(n+1)^2}\leq\frac{S_k}{k}\leq\frac{S_{(n+1)^2}}{(n+1)^2}\frac{(n+1)^2}{n^2}$$ valid if $k$ is such that $n^2\leq k\leq (n+1)^2$ (here we use the non-negative nature of the $S$’s).

Note and further reading. I have learnt this proof recently from my friend Arnaud Guyader who found it in a paper (Theorem 5) by Bernard Delyon and François Portier. It is probably a classic however. It is possible to drop the assumption of being non-negative by using $X=X_+-X_-$, but this would require to modify the remaining assumptions, increasing the complexity, see for instance Theorem 6.2 in Chapter 3 of Erhan Çinlar book (and the blog post comments below). The proof above has the advantage of being quick and beautiful.

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