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Month: April 2017

Lutte des classes et domination sociale

Cohen brothers movie "A serious man"

Voici deux thèmes à propos de certaines attitudes paradoxales :

  • Salaires des universitaires. Le pouvoir d’achat des universitaires n’a cessé de se dégrader depuis plusieurs dizaines d’années. Malgré une revalorisation récente, les salaires des maîtres de conférences – et des chargés de recherches – débutants restent particulièrement bas au regard de leur haut degré de formation et de la difficulté du concours auquel ils ont réussi. Le moindre diplômé d’un bon M2 ou d’une grande école gagnera autant ou plus, immédiatement ou assez rapidement. Cela commence à avoir un impact sur les recrutements en région parisienne et pour les étrangers les plus brillants. La situation a peu de raison de s’améliorer dans les années qui viennent, car bon nombre d’universitaires pensent qu’ils sont trop payés, qu’il font déjà partie des mieux payés dans la population, que leur salaire est indécent étant donné leur liberté, voire que les salaires devraient être tous les mêmes dans une société idéale. Tout cela accompagne lentement mais sûrement une tendance générale de dévalorisation de plus en plus marquée du métier d’universitaire dans la société, surtout dans les classes populaires. Mais après tout, peu importe, car voilà déjà des années que les classes populaires ne produisent plus vraiment d’universitaires. À l’opposé, dans certaines disciplines, les universitaires arrondissent leurs fins de mois en monnayant leur expertise dans le secteur privé.
  • Évaluation pédagogique. En mathématiques comme dans d’autres disciplines, les activités de recherche des enseignants-chercheurs sont évaluées et cela est bon pour la recherche. Les activités d’enseignement sont également évaluées dans bon nombre d’établissements prestigieux, comme par exemple à l’École Polytechnique, et cela est bon pour la formation des élites. En revanche, à l’université, les activités d’enseignement sont peu ou pas évaluées. Mais après tout, peu importe, car les étudiants des universités ne font pas vraiment partie des élites (sauf peut être dans certaines disciplines comme le droit et la médecine). Tout se passe comme si une dévalorisation de l’université était intégrée dans les esprits et les attitudes, à l’insu des acteurs eux-mêmes. Il est bien naturel de relier tout cela à un phénomène de domination sociale et de reproduction des dominants. En mathématiques comme dans d’autres disciplines, l’essentiel des universitaires ne viennent pas de l’université et ne souhaitent pas y mettre leur enfants. D’autre part, un système de promotion juste nécessiterait une évaluation des enseignants et des chercheurs, et non pas seulement des enseignements et des recherches. Nous le faisons déjà pour la recherche, mais nous avons grand peine à le faire pour l’enseignement.

 

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Carré du champ

Charles-Augustin de Coulomb

This tiny post is about the physical origin of a term used by mathematicians in analysis, probability, and geometry. If ${(X_t)}_{t\geq0}$ is a continuous time Markov process with state space $E$ and infinitesimal generator $L$ then its carré du champ operator is defined for any $f:E\to\mathbb{R}$ by

$$\Gamma f=\frac{1}{2}(L(f^2)-2fLf).$$ It appears naturally in the analysis of the conditional laws of the Markov process. Namely, denoting ${(P_t)}_{t\geq0}={(\mathrm{e}^{tL})}_{t\geq0}$ the Markov semigroup, we get, informally, for any $f$ and $t\geq0$,
$$\mathrm{Var}_{P_t}(f)=P_t(f^2)-P_t(f)^2=(f^2+tL(f^2)+\cdots)-(f+tL+\cdots)^2=2t\Gamma(f)+o(t)$$ (and the higher order terms lead to the more general notion of $\Gamma_n$). In the same spirit,
$$\mathrm{Var}_{P_t}(f)=P_t(f^2)-P_t(f)^2=\int_0^t\!\partial_sP_s(P_{t-s}(f)^2)\,\mathrm{d}s=2\int_0^t\! P_s(\Gamma(P_{t-s}(f)))\,\mathrm{d}s.$$ In the basic example of the standard Brownian Motion on $E=\mathbb{R}^d$, we have $L=\frac{1}{2}\Delta$, $P_t(f)(x)=\mathbb{E}(X_t\mid X_0=x)=\mathbb{E}(f(x+\sqrt{t}G))$, $G\sim\mathcal{N}(0,I_d)$, and we get

$$\Gamma(f)=\frac{\Delta(f^2)-2f\Delta f}{2}=\frac{(\partial_1f)^2+\cdots+(\partial_df)^2}{2}=\frac{1}{2}\left\Vert\nabla f\right\Vert^2.$$ The name carré du champ comes from the mathematical modeling of electrostatics. Namely if $\mu$ is a distribution of charges in $\mathbb{R}^d$ then the Coulomb potential at point $x\in\mathbb{R}^d$ is given by

$$U^\mu(x)=(\mu*g)(x)=\int g(x-y)\mu(\mathrm{d}y)$$ where $*$ is the convolution and $g$ is the Coulomb (or Newton) kernel given for $d\geq2$ by

$$g(x)=c_2\mathbf{1}_{d=2}\log\frac{1}{|x|}+c_3\mathbf{1}_{d\geq3}\frac{1}{{\left\Vert x\right\Vert}^{d-2}}.$$The Coulomb electric force generated by the distribution $\mu$ at point $x$ for a unit charge is $\nabla U^\mu(x)$. Also the quantity $\left\Vert\nabla U^\mu\right\Vert^2$ is the square of the (norm) of the (electric) field: carré du champ in French, see [1].

The electrostatic energy of self-interaction of this distribution of charges is given by

$$\mathcal{E}(\mu)=\int\!U^\mu(x)\mu(\mathrm{d}x).$$ Since $g$ is the fundamental solution of the Laplace equation we have $\Delta g=-c_d\delta_0$ in distributional sense and thus, by an integration by parts

$$\mathcal{E}(\mu)=-c_d\int\!U^\mu(x)\Delta U^\mu(x)\mathrm{d}x=c_d\int\!\left\Vert\nabla U^\mu(x)\right\Vert^2\mathrm{d}x.$$ The carré du champ plays a central role for the analysis and geometry of Markov diffusion operators in the Bakry-Émery theory, see [2]. The electrostatic Coulomb energy is a central concept in potential theory. The electrostatic Coulomb energy plays also a central role in the asymptotic analysis of Coulomb gases, notably those emerging from Random Matrix Theory, see for instance the modest contribution [3] and references therein. The funny thing is that most specialists of the analysis and geometry of Markov diffusion operators are not aware of the Coulomb physical (hi)story about their carré du champ!

Further reading.

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