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Comportements collectifs et problèmes d’échelle

L’étude macroscopique, statique ou dynamique, des comportements collectifs d’individus à partir de la description de leurs interactions microscopiques constitue un vaste sujet à l’interface entre la biologie, la physique, l’informatique, les mathématiques, et peut-être même les sciences sociales. En physique, la stabilité des étoiles et des trous noirs de l’astronomie, les systèmes de spins de la mécanique statistique, ainsi que la cinétique des gas et des plasmas de la physique statistique en constituent des exemples frappants. En biologie, le comportement des fourmis, des abeilles, des bancs de poissons, des vols d’oiseau, des feux de forêts, des colonies sédentaires, et des foules humaines est également à ranger dans cette catégorie. En informatique, les réseau pairs à pairs, les processus exécutés par un processeur, leurs occupation en mémoire, ou plus simplement les réseaux de machines constituent autant de dynamiques individuelles en interactions. Sur le plan mathématique, différents types de modélisations ont été développés, allant d’équations aux dérivées partielles, avec ou sans bruit, aux processus de Markov discrets ou continus, en passant par les automates cellulaires. Les modèles les plus difficiles sont ceux qui font intervenir des interactions spatialisées plutôt qu’échangeables. Le passage du microscopique au macroscopique correspond souvent à un passage du discret au continu. L’exemple le plus naturel est celui du théorème central limite pour la marche aléatoire simple qui fait apparaître le mouvement Brownien (principe d’invariance de Donsker). Les limites fluides et hydrodynamiques sont reliées à cet exemple.

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