\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,theorem,graphicx}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{vmargin}
\setpapersize{A4}

\input{macros}

%---- Structure Exercice -----
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\bfseries\sffamily}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

% Lieu - annee
\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
% Lieu - Module
{Toulouse III \hfill \textbf{UE8 - Probabilité, feuille n\degre 1}\\}
% Titre
%\hrule
%\begin{center} {\Large \textbf{Anneaux et corps} \end{center}
%\hrule
%\vspace*{1cm}

%------------------------------------------------------
% Debut des exercices


\begin{exercice}
  Soient $A_1,\ldots,A_n$ des événements d'un espace probabilisable
  $(\Om,\cF)$.  Donner l'écriture ensembliste des événements suivants :
\begin{enumerate}
\item Au moins un des $A_i$ est réalisé;
\item Aucun des $A_i$ n'est réalisé;
%\item Exactement $p$ des $A_i$ sont réalisés;
%\item Au moins $p$ des $A_i$ sont réalisés.
\end{enumerate}
Explicitez ces événements lorsque $\Om=\dR$ et $A_i=[1/i,1+1/i]$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Soit $(A_n,n\in\dN)$ une suite d'événement. Interpréter les événements
  suivants donnés par leur écriture ensembliste :
  $$
  \bigcup_{n\in\dN}\bigcap_{m\geq n} A_m \,\,,\,\,
  \bigcap_{n\in\dN}\bigcup_{m\geq n} A_m.
  $$
  De même que dans l'exercice précédent, explicitez ces événements lorsque
  $A_i=[1/i,1+1/i]$.
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Soit $\Om$ un ensemble fini et $\cA \subset \cP(\Om)$ une algèbre sur $\Om$.
  Montrez que $\cA$ est une $\sigma$-algèbre.
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Soit $(\Om,\cF,\dP)$ un espace probabilisé, $A$ et $B$ des événements.
  Montrez que
\begin{enumerate}
\item Si $\dP(A)=1$ alors $\dP(B\bs A)=0$;
\item Si $\dP(A)=0$ alors $\dP(B \cap A)=0$ et $\dP(B\bs A)=\dP(B)$.
\item Soit $(A_n,n\in\dN)$ une suite croissante d'événements, i.e. $A_0
  \subset A_1 \subset \cdots A_n \subset \cdots$. Montrez que
  $$
  \dP(\cup_{n\in\dN}A_n)=\lim_{n\rightarrow\infty} \uparrow \dP(A_n)
  $$
  De même, montrez que si $(B_n,n\in\dN)$ est une suite décroissante
  d'événements, i.e. $B_0 \supset B_1 \supset \cdots B_n \supset \cdots$,
  alors
  $$
  \dP(\cap_{n\in\dN}B_n)=\lim_{n\rightarrow\infty} \downarrow \dP(B_n)
  $$
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Soit $(\Om,\cF,\dP)$ un espace probabilisé et $A,B,C$ des événements (i.e.
  des éléments de $\cF$). Démontrez la formule de <<Poincaré>> suivante :
$$
 \dP(A\cup B \cup C)
 = 
 \dP(A)+\dP(B)+\dP(C)
 -\dP(A\cap B)-\dP(B\cap C)-\dP(A\cap C)
 +\dP(A\cap B \cap C).
$$
 Plus généralement, on peut démontrer la formule suivante pour des
 événements $A_1,\ldots,A_n$ :
$$
 \dP(\cup_{i=1}^n A_i)=
 \sum_{i=1}^n \dP(A_i)
 -
 \sum_{1\leq i<j \leq n} \dP(A_i\cap A_j)
 +
 \cdots
 +
 (-1)^{n+1}\dP(A_1\cap \cdots \cap A_n).
$$
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Combien y a-t-il (en base $10$)
  \begin{enumerate}
  \item de nombres de $r$ chiffres au plus ?
  \item de nombres de $r$ chiffres exactement ?
  \item de nombres de $r$ chiffres exactement formés de chiffres différents ?
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  On tire d'un seul coup $5$ cartes parmi les $32$ cartes d'un jeu. Déterminez
  \begin{enumerate}
  \item le nombre de mains possibles;
  \item le nombre de mains contenant exactement une paire;
  \item le nombre de mains contenant une séquence de $5$ cartes d'une seule
    couleur;
  \item le nombre de mains contenant exactement $2$ rois ou exactement $3$
    dames.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  On note $N_n=\BRA{1,\ldots,n}$.
  \begin{enumerate}
  \item Combien y a-t-il de couples $(A,B)$ de sous-ensembles de $N_n$ dont la
    réunion est $N_n$ ?
  \item Même question avec $A$ et $B$ disjoints ?
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  On jette un dé au hasard. Calculez la probabilité d'obtenir un $5$
  (construire un modèle probabiliste et traduire la question posée en termes
  du calcul de la probabilité d'un événement).
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Proposez un modèle probabiliste pour les expériences aléatoires suivantes :
  \begin{enumerate}
  \item Jet de deux dés discernables;
  \item Jet de deux dés indiscernables;
  \item Tirage d'une boule dans une urne contenant quatre boules blanches et
    deux boules rouges, les boules de même couleur étant indiscernables;
  \item Tirage simultané de deux boules sans remise dans les mêmes conditions.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice}[Problème de Galilée]
 Le prince de Toscane demande un jour à Galilée : <<Pourquoi lorsqu'on jette
 trois dés obtient-on plus souvent la somme $10$ que la somme $9$, bien que
 ces deux sommes soient obtenues de six façons différentes ?>> (construire un
 modèle probabiliste et traduire la question posée en terme du calcul de la
 probabilité d'un événement).
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Une urne contient $N$ boules noires et $B$ boules blanches. On effectue $T$
  tirages et on suppose que $T\geq N+B$. Soit $A_k$ l'événement <<il a fallu
  $k$ tirages pour tirer une boule noire>>. Calculer la probabilité des $A_k$:
  \begin{itemize}
  \item lorsque les tirages sont avec remise;
  \item lorsque les tirages sont sans remise.
  \end{itemize}
  Vous devez bien sûr préciser l'espace probabilisé $(\Om,\cA,\dP)$ choisi et
  à quelle partie de $\Om$ correspond $A_k$. Que se passe-t-il si l'on suppose
  que le nombre $T$ de tirages effectués est infini ?
\end{exercice}

\begin{exercice}
  On considère une classe de $n$ élèves. Pour chaque élève, on suppose que
  chaque jour de l'année a la même probabilité d'être le jour de son
  anniversaire et on ne prend pas en compte les années bissextiles. Calculez
  la probabilité que deux élèves au moins de cette classe aient leur
  anniversaire le même jour. \`A partir de combien d'élèves cette probabilité
  devient supérieure à $0.5$ ? \`A $0.8$ ? Comment interpréter ce résultat ? 
\begin{center}
    \includegraphics[scale=.5]{anniv}
\end{center}
Pour estimer par le calcul la probabilité recherchée, on peut utiliser
l'encadrement suivant, pour $0<x<1$ :
$$
-x-\frac{x^2}{2(1-x)} \leq \log(1-x) \leq -x - \frac{x^2}{2}
$$
et la formule de sommation des premiers carrés
$$
 \sum_{k=1}^{n-1} k^2 = \frac{n(2n-1)(n-1)}{6} \sim \frac{n^3}{3}.
$$

\end{exercice}

% \begin{exercice}
%   On considère une loterie comportant $n$ billets dont $p$ sont gagnants, et
%   on suppose que $n\geq 2p$. Un joueur achète $p$ billets. Calculez la
%   probabilité $P_{n,p}$ qu'il y ait au moins un billet gagnant. Calculez
%   $\lim_{p\rightarrow\infty} P_{p^2,p}$ (on pourra utiliser le fait que pour
%   tout réel $x$, $\lim_{n\rightarrow\infty}(1+x/n)^n=e^x$).
% \end{exercice}


\end{document}
