%% Grégory Scheffer
%%
\newcommand{\rev}{22 avril 1999}

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               {\noindent {\it Démonstration.}}
               {\qed \bigskip}
\newcounter{exos}
\newenvironment{exos}
               {\refstepcounter{exos}
                \noindent {\bf Exercice \arabic{exos} :~}}
               {\bigskip}
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\begin{document}

\hrule
\begin{center}
  {\large \bf Feuille de TD : Intégrales multiples}
\vspace{0.3cm}

\footnotesize{MIA6. Second semestre 1998-1999, semaines 10-11.}
\end{center}
\hrule
\bigskip

\setcounter{exos}{-2}

\begin{exos}
Soit $f$ une fonction $\C{1}$ sur $[a,b]\subset\R$. Soit
$n\in\N$, et $x_i=a+i\,\frac{b-a}{n}$ pour $i\in[0,n]$. Calculer :
$$
\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=0}^{n-1}f(x_i)f'(x_i).
$$


\exo
Soit $f$ une fonction positive, Riemann-intégrable sur
$[a,b]\subset\R$, telle que :
$$
\int_a^b\!f(x)\,dx=0.
$$

Montrer que $\frac{1}{1+f}$ est Riemann-intégrable, et calculer son
intégrale sur $[a,b]$.

\noindent
(indication : $\int_a^b\!\frac{dx}{1+f(x)}-\int_a^b\!dx$).


\exo
Soit $D=[0,1]^2$. Calculer :
$$
\iint\limits_D\frac{dx\,dy}{(x+y+1)^2}.
$$


\exo
Soit $C$ le cercle de centre (0,1) et rayon 1 du plan. Calculer :
$$
\iint\limits_C(x^2+y^2)\,dx\,dy.
$$


\exo
Soit $D=\{x\geq 0,\,y\geq 0,\,x^2+y^2-2y\geq 0,\,x^2+y^2-1\leq 0\}$.
Calculer :
$$
\iint\limits_D\sqrt{x^2+y^2}\,dx\,dy.
$$


\exo
Soit $D=\{{(x^2+y^2)}^2\leq xy\}$.
Calculer :
$$
\iint\limits_D\sqrt{xy}\,dx\,dy.
$$


\exo
Soit $a>0$ et $D$ le domaine du plan délimité par la courbe
$\rho=a(1+\cos\theta)$. Quelle est l'aire de $D$ ? Quel est le centre
de gravité de $D$ ?


\exo
Soient $0<a\leq b$, $0<c\leq d$, et $D=\{ax^2\leq y\leq bx^2,\,
\frac{c}{x}\leq y\leq \frac{d}{x}\}$. Quelle est l'aire de $D$ ?

\noindent
(indication : poser $u=\frac{y}{x^2}$ et $v=xy$).


\exo
Soit $p>0$ et $D=\{y^2-2px\leq 0,\,x^2-2py\leq 0\}$.
Calculer :
$$
\iint\limits_De^{\frac{x^3+y^3}{xy}}\,dx\,dy.
$$

\noindent
(indication : poser $x=u^2v$ et $y=uv^2$).


\exo
Soit $R>0$, $D_R=\{x^2+y^2\leq R^2,\,x>0,\,y>0\}$, et
$K_R=[0,R]^2$.
Montrer que :
$$
\iint\limits_{D_R}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy\leq
\iint\limits_{K_R}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy\leq
\iint\limits_{D_{2R}}e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy.
$$

En déduire l'existence et la valeur de :
$$
\lim_{R\rightarrow+\infty}\int_0^Re^{-t^2}\,dt.
$$


\exo
Soient $a,R>0$. Dans le plan ($y$O$z$), soit $C$ le cercle de centre
(0,$a$,0) et de rayon $R$. En tournant autour de l'axe (O$z$), $C$
engendre un tore $T$. Calculer le volume délimité par $T$.


\exo
Quel est le volume délimité par deux cylindres de révolution d'axes
(O$x$) et (O$y$), et de même rayon $R>0$ ?


\exo
Soit $D=\{x^2+y^2\leq 1,\,0\leq z\leq 1-x^2+y^2\}$.
Calculer le volume de $D$.


\exo
Soit $D=\{x\geq 0,\,y\geq 0,\,z\geq 0,\,x+y+z\leq 1\}$.
Calculer :
$$
\iiint_D\limits\frac{dx\,dy\,dz}{(1+x+y+z)^3}.
$$

\end{exos}

%\bibliography{biblio}

\end{document}
