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\theoremstyle{break}
\theorembodyfont{\rmfamily}
\newtheorem{exo}{Exercice}


\begin{document}

\begin{center}\shadowbox{\begin{large}
    MIA3 second semestre 98/99 -- Série numéro 4 --
    Séries entières et de Fourier 
\end{large}}
\end{center}

\begin{center}
  \textbf{Cette série d'exercices est prévue pour 2 semaines de TD.}
\end{center}

%\raggedcolumns
%\columnseprule .4pt
%\begin{multicols}{2}

\section{Séries entières}
  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Déterminer le rayon de convergence et la somme des séries entières      
\[
 \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{(2n+1)!}x^n
 \text{\quad et \quad}
 \sum_{n=0}^\infty \mathrm{ch}(na)x^n \text{ pour } a>0.
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Déterminer le développement en série entière en $0$ de $f(x)$ en précisant le
rayon de convergence dans les cas suivant :

\noindent a) $\displaystyle{f(x)=\mathrm{Argsh}(x).}$

\noindent b) $\displaystyle{f(x)=\frac{5}{x^4-13x^2+36}.}$

\noindent c) $\displaystyle{f(x)=\log (1+x-2x^2).}$

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{} \label{ex}

\noindent 1)
Développer en série entière au voisinage de $0$ la fonction $x\rightarrow
\frac{1}{1+x^2}$.

\noindent 2)
En déduire le développement en série entière de la fonction
$x\rightarrow \mathrm{Arctg}(x)$ en précisant le rayon de convergence.

\noindent 3)
En utilisant le théorème des séries alternées, montrez que cette série converge
uniformément sur $[-1,1]$ et en déduire, en le justifiant, la valeur de la
série $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Déterminer les solutions analytiques de l'équation différentielle
\[
 xy''+2y' = -\frac{2x^3}{(1+x^2)^2}.
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\exo{}

Soit $r$ un entier naturel fixé. Calculer le rayon de convergence et la somme
de la série entière $\displaystyle{\sum_{n\geq0}C_{n+r}^n x^n}$.
(Écrire $C_{n+r}^n$ sous
la forme $\displaystyle{\frac{(n+r)\cdots(n+1)}{r!}}$ et penser à la
dérivation des séries entières). 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
  
%\exo{}
%
%Le but de cet exercice est de développer en série entière la fonction
%\[
% f(x)=e^{-x^2/2} \int_0^x\!\! e^{t^2/2} dt.
%\]
%
%\noindent 1)
%En remarquant que $e^{x^2/2}f(x) = \int_0^x\!\! e^{t^2/2} dt$, écrire une
%équation différentielle simple vérifiée par $f$.
%
%\noindent 2)
%Supposons dans cette question que $f$ est développable en série entière en
%$0$. Il existe donc une série entière $\sum_{n\geq0} a_nx^n$ de rayon de
%convergence $R>0$ telle que pour tout $x$ dans $]-R,R[$ on
%ait
%\[
%f(x) = \sum_{n\geq0} a_nx^n.
%\]
%Calculer $a_0$ puis donner une relation de récurrence sur les coefficients
%$a_n$. En déduire la valeur des $a_n$.
%
%\noindent 3)
%Montrer que la série entière
%\[
%\sum_{n\geq0} (-1)^n \frac{2^nn!}{(2n+1)!}x^{2n+1}
%\]
%a un rayon de convergence infini et développer $f$ en série entière.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Séries de Fourier}

\exo{}

Montrer que si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique continue par morceaux,
alors pour tout réels $a$ et $b$
\[
 \int_a^{a+2\pi}\!\! f(t)dt = \int_b^{b+2\pi}\!\! f(t)dt. 
\]
En particulier, les coefficents de Fourier peuvent être calculés sur tout
intervalle de longueur $2\pi$ :
\[
 c_n(f)=\int_{x}^{x+2\pi}\!\! f(t)e^{-int}dt = \int_0^{2\pi}\!\! f(t)e^{-int}dt.
\]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Calculer les coefficients de Fourier de la fonction $f$ $2\pi$-périodique
donnée sur $[-\pi,\pi[$ par $f(x)=x$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Développer en série de Fourier la fonction de période $2\pi$ définie sur
$[-\pi,\pi[$ par
\[
 f(x)= \left\{ 
        \begin{array}{lrcl}
          \pi-x \text{\quad si \quad} &0\leq&x& < \pi \\
          \pi+x \text{\quad si \quad} &-\pi\leq&x& \leq 0          
        \end{array}      
\right.
\]
et en déduire la convergence et la somme de la série
$\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty} \frac{1}{(2n+1)^2}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Calculer et étudier la convergence de la série de Fourier de la fonction
$f$ $2\pi$-périodique donnée sur $[0,2\pi]$ par $f(x)=x(\pi-x)$. En déduire la
somme de la série alternée $\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty}
\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\exo{}
%
%Montrer que la fonction impaire $2\pi$-périodique définie sur $[0,\pi]$ par
%$f(x)=x(\pi-x)$ est développable en série de Fourier. En déduire la somme de
%la série $\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty} \frac{1}{(2n+1)^6}$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\exo{}
%
%soit $f$ la fonction $2\pi$-périodique définie sur $[0,2\pi[$ par
%$f(x)=(\pi-x)^2$.
%
%\noindent 1)
%Étudiez la convergence de la série de Fourier de $f$.
%
%\noindent 2)
%Calculer les coefficients de Fourier $a_n(f)$ et $b_n(f)$.
%
%\noindent 3)
%Étudier la convergence absolue de la série de Fourier de $f$.
%
%\noindent 4)
%Calculer
%$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{1}{n^2}$ et
%$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{1}{n^4}$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\exo{}

Soit $\alpha$ un réel tel que $0<\alpha<\pi$ et $f_\alpha$ la fonction
$2\pi$-périodique définie sur $[0,2\pi]$ par
\[
 f(x)=\left\{ \begin{array}{cl}
          1 &\text{\quad si \quad} \pi-\alpha \leq x \leq \pi+\alpha\\
          0 &\text{\quad sinon}.
        \end{array}      
\right.
\]

\noindent 1)
Faire la représentation graphique de $f_{\pi/2}$ sur $[-2\pi,2\pi]$.

\noindent 2)
Calculer la série de Fourier associée à $f_\alpha$ et énoncer un résultat de
convergence. 

\noindent 3)
En déduire la valeur de la série
$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty} \frac{\sin n\alpha}{n}$.

\noindent 4)
Retrouver en particulier la valeur de la série de l'exercice \ref{ex}.

%\end{multicols}

\end{document}
