\documentclass[12pt,a4paper]{article}
\usepackage{amsfonts,amsmath,amssymb,theorem,graphicx,vmargin}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[francais]{babel}

\setpapersize{A4}
\input{macros}
%---- Structure Exercice -----
\theorembodyfont{\rmfamily}
\theoremheaderfont{\bfseries\sffamily}
\newtheorem{exercice}{Exercice}

\begin{document}

\noindent
{\textbf{Université Paul Sabatier} \hfill Année 2001}\\
{Toulouse III \hfill \textbf{Deug MIAS - Probabilités}\\}
\bigskip
\begin{center}
{\textbf{Corrigé du devoir n°2}}
\end{center}
\bigskip

\noindent
\textbf{Exercice 6 Feuille 4  } \\
  Pour alléger la correction, les changements de variables ($u=\la t$) et les
  intégrations par parties (IPP) sont indiqués au-dessus des égalités où on
  les utilise
\begin{enumerate}
\item
La variable aléatoire $T_1$ suit une loi exponentielle de paramètre $\la$ dont
la densité est égale à
$$
f_1(t) = 
\left\{
\begin{array}{ll}
\la e^{-\la t} & \text{si } t\geq 0\\
0 & \text{sinon.}
\end{array}
\right.
$$
On a donc 
$$
\dE(T_1) = \int_0^\infty \! \la t e^{-\la t} \,dt
         \stackrel{IPP}{=} \int_0^\infty\! e^{-\la t}\,dt = \frac{1}{\la}\,, 
$$
et 
$$
\dE(T_1^2) \stackrel{IPP}{=} 2\,\int_0^\infty\!te^{-\la t}\,dt 
= \frac{2}{\la}\,\dE(T_1)=\frac{2}{\la^2}\,.
$$
Donc l'espérance de $T_1$ vaut $1/\la$ et sa variance $1/\la^2$. 
 
La variable aléatoire $T_n$ est la somme de $n$ variables aléatoires
indépendantes de m\^eme loi exponentielle de paramètre $\la$. Donc l'espérance
de $T_n$ vaut $n/\la$ et sa variance $n/\la^2$.
 
\item
La variable aléatoire $T_{n+1}$ s'écrit comme la somme de $T_n$ et d'une
variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre $\la$ indépendante de
$T_n$. D'après le rappel, la densité de la loi de $T_n$ s'écrit donc 
$$
f_{n+1}(t) = \la \int_0^t f_n(u)e^{-\la(t-u)}\,du\,.
$$
Faisons l'hypothèse de récurrence suivante~:
$$
f_n(t) = \la^n \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\la t}\,.
$$
L'hypothèse est vraie au rang $1$. Supposons que qu'elle soit vraie au rang
$n$. On a alors
\begin{eqnarray*}
f_{n+1}(t) & = &\la^{n+1} 
 \int_0^t \frac{u^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\la u} e^{-\la(t-u)}\,du 
  =  \la^{n+1} e^{-\la t} \int_0^t \frac{u^{n-1}}{(n-1)!}\,du \\
 & = & \la^{n+1} \frac{t^n}{n!}e^{-\la t}\,,
\end{eqnarray*}
l'hypothèse est donc vraie au rang $n+1$. 
\item
En utilisant la définition de la fonction de répartition et l'expression de
$f_{n+1}$, on a 
\begin{eqnarray*}
F_{n+1}(t) & = &\int_0^t \! f_{n+1}(u)\,du 
= \int_0^t \! \la^{n+1} \frac{u^n}{n!}e^{-\la u}\,du \\
&\stackrel{IPP}{=} & \la^{n} \SBRA{-\frac{u^{n}}{n!} e^{-\la u}}_0^t
+  \la^{n}\int_0^t\!\frac{u^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\la u}\,du\\
& = & -\la^{n}\frac{t^{n}}{n!} e^{-\la t} + F_n(t)\,.
\end{eqnarray*}
La fonction de répartition de $T_1$ est égale à 
$$
F_1(t) = \int_0^t\! \la e^{-\la u}\,du = 1 - e^{-\la t}\,.
$$
Avec la relation de récurrence entre $F_n$ et $F_{n+1}$, on en déduit que 
\begin{eqnarray*}
F_n(t) & = &-\frac{(\la t)^{n-1}}{(n-1)!} e^{-\la t}+\cdots+\la t e^{-\la t}
+ F_1(t)\\
& = & 1 - e^{-\la t} 
\SBRA{ 1 + \la t + \frac{(\la t)^2}{2} 
+ \cdots +\frac{(\la t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,.
\end{eqnarray*}
\item
Le plus simple est de remarquer que, pour $n\in\dN^*$, 
$$
\BRA{X\neq n} = \BRA{X\leq n-1} \cup \BRA{X\geq n+1}
= \BRA{\tau \leq T_n } \cup \BRA{\tau \geq T_{n+1}} 
$$
et que la réunion est disjointe. Passons aux probabilités 
$$
\dP(X\neq n) = \dP(\tau \leq T_n)  + \dP(\tau \geq T_{n+1})
= 1 - \dP(T_n< \tau) + \dP( T_{n+1}\leq \tau ) \,.
$$
Donc, la probabilité cherchée est  
$$
\dP(X= n) = 1 - \dP(X\neq n) = \dP(T_n< \tau) - \dP( T_{n+1}\leq \tau )
= F_n(\tau) + F_{n+1}(\tau) \,.
$$
Enfin, $\BRA{X=0}=\BRA{\tau< T_1}$ donc $ \dP(X=0) = 1 -F_1(t)$.
\item
Les questions précédentes donnent
$$
\dP(X=n) = \frac{(\la t)^n}{n!} e^{-\la t}\,.
$$
La variable aléatoire $X$ suit donc une loi de \textsc{Poisson} de paramètre
$\la t$.
\end{enumerate}

\newpage

\noindent
\textbf{Exercice 15 Feuille 2} \\
D'après l'énoncé, la loi de $X$ sachant que le nombre total (noté $T$) de
blessés est égal à $n$ suit une loi bin\^omiale $\cB(n,1/2)$.
\begin{enumerate}
\item
La variable aléatoire $X$ est à valeurs dans $\dN$. Soit $k\in\dN$,
\begin{eqnarray*}
\dP(X=k) & = &\sum_{l=0}^\infty \dP(X=k \text{ et } T=k+l) \\
& = & \sum_{l=0}^\infty \dP(X=k | T=k+l) \dP( T=k+l) \\ 
& = & \sum_{l=0}^\infty C_{k+l}^k \PAR{\frac{1}{2}}^k\PAR{\frac{1}{2}}^l
e^{-\la} \frac{\la^{k+l}}{(k+l)!} \\
& = &\frac{\la^n e^{-\la}}{2^n n!} \sum_{l=0}^\infty \frac{(\la/2)^l}{l!}
 =  e^{-\la/2} \frac{(\la/2)^k}{k!} \,.
\end{eqnarray*}
La loi de $X$ est une loi de \textsc{Poisson} de paramètre $\la/2$. Il en est
de m\^eme pour la loi de $Y$. 
\item
Pour tous $k,l \in \dN$,
\begin{eqnarray*}
\dP(X=k \text{ et } Y=l) & = &\dP(X=k \text{ et } T=k+l) \\
 & = & C_{k+l}^k \PAR{\frac{1}{2}}^k\PAR{\frac{1}{2}}^l
e^{-\la} \frac{\la^{k+l}}{(k+l)!} \\
& =&
e^{-\la} \frac{(\la/2)^{k+l}}{k!\,l!}=\dP(X=k)\dP(Y=l)\,.
\end{eqnarray*}
Les variables aléatoires $X$ et $Y$ sont donc indépendantes. 
\item
\begin{eqnarray*}
\dP(X=Y) & = & \sum_{k=0}^\infty \dP(X=k \text{ et } Y=k) 
=  \sum_{k=0}^\infty \dP(X=k)^2 \\
& = &e^{-\la} \sum_{k=0}^\infty \frac{\la^{2k}}{k!^2}\,.
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\newpage

\noindent
\textbf{Exercice 6 Feuille 3} \\
\begin{itemize}
\item Si $k<n$, $P(T_n=k)=0$ ;
\item Si $k=n$, $P(T_n=k)=p^n$ ;
\item Si $k>n$,
  $$
  P(T_n=k)=P(X_k=1,\ldots,X_{k-n+1}=1,X_{k-n}=0,T_n>k-n-1).
  $$
Ces v.a. sont indép., d'où
$$
P(T_n=k)=p^n(1-p)\left(1-\sum_{l=0}^{k-n-1}P(T_n=l)\right).
$$
\end{itemize}

Fonction génératrice :
\begin{align*}
 G_n(s)&=\sum_{k=0}^\infty s^k P(T_n=k)=s^np^n+\sum_{k=n+1}^\infty s^k
 (1-p)p^n\left(1-\sum_{l=0}^{k-n-1}P(T_n=l)\right)\\
&=s^np^n+(1-p)p^n\left(\frac{s^{n+1}}{1-s}-\sum_{l=0}^\infty
 \sum_{k=l+n+1}^\infty s^k P(T_n=l)\right)\\
&=s^np^n+(1-p)p^n\frac{s^{n+1}}{1-s}-(1-p)p^n\frac{s^{n+1}}{1-s}G_n(s),
\end{align*}
d'où
\begin{align*}
G_n(s)&=\frac{s^np^n+s^{n+1}p^ns^{n+1}/(1-s)}{1+(1-p)p^ns^{n+1}/(1-s)}\\
&=\frac{(1-p)s^{n+1}p^n+(1-s)s^np^n}{1-s+(1-p)p^ns^{n+1}}\\
&=\frac{(1-ps)p^ns^n}{(1-ps)(1-(1-p)p^{n-1}s^n)-(1-p)(1-p^{n-1}s^{n-1})s}.
\end{align*}

Si $n=1$, on a
$$
G_1(s)=\frac{ps}{1-(1-p)s}.
$$
C'est une loi géométrique de paramètre $1-p$.

\centerline{--- Fin ---}


\end{document}





